В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $66^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $18^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому$$\angle A = \angle D = 66^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $18^\circ$, и искомый угол между $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = 66^\circ - 18^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 8 и 17. Найдите длину основания $BC$.
- 1
Опустим высоту из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции боковые проекции равны, поэтому один из отрезков основания равен сумме другого отрезка и основания $BC$.
- 2
Следовательно, длина основания $BC$ равна разности двух отрезков, на которые высота делит основание $AD$.$$BC = 17 - 8 = 9$$
Сторона квадрата равна $5\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим значение стороны и упростим выражение.$$d = 5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 5\cdot 2 = 10$$
Один из углов равнобедренной трапеции равен $94^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции соседние углы при боковой стороне являются supplementary и в сумме дают $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $72^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому соседние углы supplementary: сумма углов $ABC$ и $BCD$ равна $180^\circ$.$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$$
- 2
Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам.$$\angle ACD = \frac{1}{2}\angle BCD = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
Высота, проведённая из конца меньшего основания, образует на большем основании два отрезка. В равнобедренной трапеции внешний отрезок с другой стороны равен меньшему из данных отрезков.$$a = 5 - 2$$
- 2
Вычисляем длину меньшего основания.$$a = 3$$
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Найдём длину основания параллелограмма:$$a = 3 + 4 = 7$$
- 2
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:$$S = ah = 7 \cdot 4 = 28$$
Один из углов ромба равен $142^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$, поэтому острый угол равен:$$180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба делит острый угол пополам. Угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{38^\circ}{2} = 19^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 8$, $BD = 14$, $AB = 5$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому отрезок $DO$ равен половине диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
- 2
Подставим значение диагонали $BD$:$$DO = \dfrac{14}{2} = 7$$
Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим значения оснований.$$m = \dfrac{8+18}{2} = 13$$
Периметр ромба равен 12, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна:$$a = \frac{12}{4} = 3$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S = a^2\sin\alpha$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции, пересекая среднюю линию, делит её на отрезки, равные половинам оснований трапеции.$$l_1=\dfrac{2}{2}=1,\quad l_2=\dfrac{9}{2}=4{,}5$$
- 2
Большим является отрезок, соответствующий большему основанию.$$l_{\max}=4{,}5$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $83^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $51^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол $C$ равен углу $D$.$$\angle C = \angle D = 83^\circ$$
- 2
Угол между боковой стороной $CD$ и меньшим основанием $BC$ является внутренним углом трапеции при вершине $C$. Диагональ $AC$ делит его на угол $51^\circ$ и искомый угол.$$\angle C = 97^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ ромба равна 30, а другая диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.
- 1
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
- 2
Подставим значения диагоналей.$$S = \dfrac{30 \cdot 6}{2} = 90$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $80^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $70^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём известны углы при вершинах $D$ и $C$.$$\angle D = 80^\circ,\quad \angle ACD = 70^\circ$$
- 2
Найдём угол между диагональю $AC$ и большим основанием $AD$.$$\angle CAD = 180^\circ - 80^\circ - 70^\circ = 30^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $56^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle D = 56^\circ$$
- 2
Луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$, поэтому он делит этот угол пополам.$$\angle CAD = \dfrac{56^\circ}{2} = 28^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $67^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $72^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
Основания $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому внутренние односторонние углы при боковой стороне $CD$ supplementary:$$\angle C + \angle D = 180^\circ$$
- 2
Находим угол при вершине $C$:$$\angle C = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 11$, $AB = 10$. Найдите $AC$.
- 1
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO$ — половина диагонали $BD$.$$BD = 2BO$$
- 2
Вычислим длину диагонали $BD$.$$BD = 2 \cdot 11 = 22$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 9.
- 1
В равнобедренной трапеции боковые стороны симметричны, поэтому горизонтальная проекция диагонали равна полусумме оснований.$$x=\frac{4+9}{2}=6{,}5$$
- 2
Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и её горизонтальной проекцией, катеты равны, поскольку $\tan 45^\circ=1$.$$h=x\tan 45^\circ=6{,}5\cdot 1=6{,}5$$
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Найдём длину основания параллелограмма:$$a = 5 + 5 = 10$$
- 2
Используем формулу площади параллелограмма, где высота равна 12:$$S = ah = 10 \cdot 12 = 120$$