Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Поэтому высота трапеции равна расстоянию между двумя параллельными касательными, то есть диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 12 = 24$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $51^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга, на которую опирается угол, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{AD} = 2 \cdot 51^\circ = 102^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD} = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 10$, $BC = 6$, $CD = 12$. Найдите $AD$.
- 1
Трапеция описана около окружности, поэтому суммы длин её противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные длины сторон:$$10 + 12 = 6 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $26\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата совпадает с диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 26\sqrt{2} = 52\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на $\sqrt{2}$, поэтому найдём сторону.$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{52\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 52$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 40$, $BC = 30$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Так как угол $C$ равен $90^\circ$, треугольник $ABC$ прямоугольный, а сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
- 2
По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы.$$AB = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{2500} = 50$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $32^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому её противоположные углы $A$ и $C$ в сумме составляют $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$$
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $44^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ$$
- 2
Угол $ACB$ — вписанный, а угол $AOB$ — центральный; они опираются на одну дугу $AB$. Вписанный угол равен половине центрального.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{136^\circ}{2} = 68^\circ$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $16^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного:$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2\cdot16^\circ = 32^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ дополняют друг друга до $180^\circ$:$$\angle AOD = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 20, сторона $BC$ равна 58, сторона $AC$ равна 64. Найдите $MN$.
- 1
Так как точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя желі равна половине третьей стороны треугольника.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{64}{2} = 32$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $9^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, поэтому $AB$ является диаметром окружности.$$AB=2R$$
- 2
Угол $ACB$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр. По теореме Фалеса он равен $90^\circ$.$$\angle ACB=90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $48°$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R$$
- 2
Угол, опирающийся на диаметр, прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90°$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $56^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABC$ — вписанный, поэтому дуга $ADC$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\widehat{ADC}=2\cdot 56^\circ=112^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ также вписанный и опирается на дугу $CD$.$$\widehat{CD}=2\cdot 42^\circ=84^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 5$, $BC = 9$, $CD = 16$. Найдите $AD$.
- 1
Для четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём $AD$.$$AD = 5 + 16 - 9 = 12$$
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности. Известно, что $AB = 8$, $BC = 20$, $CD = 17$. Найдите $AD$.
- 1
У описанного около окружности четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения длин сторон.$$8 + 17 = 20 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 16.
- 1
Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r = 2 \cdot 16 = 32$$
- 2
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.$$S = a^2 = 32^2 = 1024$$
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $48^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Углы $A$ и $C$ — противоположные.$$A + C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$C = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$$
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $59^\circ$.
- 1
Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$, не содержащую точку $C$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $5$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, расстояние от $O$ до вертикальной стороны $AB$ равно $a$, а горизонтальное расстояние от $O$ до вершины $A$ равно $\dfrac{a}{2}$.
- 2
Радиус $OA$ является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$OA^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $77^\circ$, угол $CAD$ равен $43^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ABD$ и $ACD$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $AD$, поэтому они равны.$$\angle ACD = \angle ABD = 77^\circ$$
- 2
В треугольнике $ACD$ найдём угол $ADC$.$$\angle ADC = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD = 180^\circ - 43^\circ - 77^\circ = 60^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 40$, $BC = 9$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
- 2
По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы.$$AB = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде