В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 24^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол на два равных угла.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим значение угла $BAC$:$$\angle BAD = \frac{24^\circ}{2} = 12^\circ$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = a^2 + b^2$$
- 2
Подставим значения катетов:$$c^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 9 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадратов гипотенузы и известного катета.$$x^2=41^2-9^2$$
- 2
Вычислим значение:$$x^2=1681-81=1600$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, угол $\angle BAC = 9^\circ$. Найдите угол $\angle ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BH$ — высота треугольника $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Поэтому $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Точка $H$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $\angle BAH$ равен углу $\angle BAC$.$$\angle BAH = 9^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 58$, $BM$ — медиана, $BM = 37$. Найдите $AM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Подставим значение длины стороны $AC$.$$AM = \dfrac{58}{2} = 29$$
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если величины заданных углов равны $66^\circ$ и $66^\circ$.
- 1
По определению биссектрисы две части угла равны.$$\angle 1=\angle 2=66^\circ$$
- 2
Искомый угол равен сумме двух равных частей.$$\angle=66^\circ+66^\circ=132^\circ$$
Медиана равностороннего треугольника равна $13\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике медиана является высотой. Высота равна $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона треугольника.$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим значение медианы и найдём сторону:$$13\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad a=26$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 13$, $AB = 20$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащей стороной является $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и вычислим.$$\sin B = \dfrac{13}{20} = 0,65$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 28^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку точка $H$ лежит на стороне $AC$, угол $BAH$ совпадает с углом $BAC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 28^\circ$$
- 2
Так как $BH$ — высота, она перпендикулярна $AC$, поэтому угол $AHB$ прямой.$$\angle AHB = 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.$$x^2+16^2=34^2$$
- 2
Выразим неизвестный катет и вычислим его длину.$$x=\sqrt{34^2-16^2}=\sqrt{1156-256}=\sqrt{900}=30$$
В треугольнике два угла равны $54^\circ$ и $58^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Вычислим третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 54^\circ - 58^\circ = 68^\circ$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника.$$c^2 = a^2 + b^2$$
- 2
Подставим значения катетов и найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $AC = 8$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим значения длин катетов:$$\tg B = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$$
Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим известные значения стороны и высоты.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 17 = 9 \cdot 17 = 153$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 9$, $AC = 27$. Найдите $\tg B$.
- 1
Для угла $B$ противолежащим катетом является $AC$, а прилежащим катетом — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим значения длин катетов:$$\tg B = \dfrac{27}{9} = 3$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$, $BC = 20$, $\sin \angle ABC = \frac{5}{8}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \frac{1}{2}ab\sin\alpha$$
- 2
В данном треугольнике сторонами, заключающими угол $\angle ABC$, являются $AB$ и $BC$.$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\angle ABC$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 8$, $AB = 10$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — это $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения длин сторон.$$\cos B = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 10^2 + 24^2$$
- 2
Находим гипотенузу:$$c = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 48^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим значение угла $BAC$ и вычислим:$$\angle BAD = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 37^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$, следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Луч $AH$ лежит на стороне $AC$, поэтому $\angle BAH = \angle BAC = 37^\circ$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде