61ФИПИ AD55CA№ 11Повышенная Юля и Уля, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Уля — за 120 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Юля?
- 1
Пусть Юля пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту, а производительность Ули — $\dfrac{1}{120}$.$$\frac{1}{x} + \frac{1}{120} = \frac{1}{24}$$
- 2
Найдём производительность Юли:$$\frac{1}{x} = \frac{1}{24} - \frac{1}{120} = \frac{5-1}{120} = \frac{1}{30}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
62ФИПИ B4C164№ 11Повышенная Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 609 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч…
- 1
Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению равна $25+x$, а против течения — $25-x$.
- 2
Время движения по течению равно $\dfrac{609}{25+x}$, а время движения против течения — $\dfrac{609}{25-x}$. Составим уравнение с учётом стоянки:$$\dfrac{609}{25+x}+1+\dfrac{609}{25-x}=51$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
- 1
Первый мастер выполняет за час $\dfrac{1}{36}$ заказа, а второй — $\dfrac{1}{12}$ заказа.$$\dfrac{1}{36} \text{ и } \dfrac{1}{12}$$
- 2
Их совместная производительность равна сумме производительностей.$$\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{9}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
64ФИПИ BAF165№ 11Повышенная Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 6 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста. Тогда скорость первого равна $x+6$ км/ч.$$x>0$$
- 2
Время второго велосипедиста на дистанции равно $\dfrac{160}{x}$, а время первого — $\dfrac{160}{x+6}$. По условию второй ехал на 6 часов дольше.$$\dfrac{160}{x}-\dfrac{160}{x+6}=6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
65ФИПИ BB421B№ 11Повышенная Заказ на изготовление 192 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 4…
- 1
Пусть второй рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий изготавливает $x+4$ деталей в час.
- 2
Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{192}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{192}{x+4}$ часов. По условию второй рабочий тратит на 4 часа больше.$$\dfrac{192}{x}-\dfrac{192}{x+4}=4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
66ФИПИ BC64EB№ 11Повышенная Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+4$ км/ч.
- 2
Время движения первого велосипедиста на 4 часа меньше времени движения второго:$$\dfrac{140}{x}-\dfrac{140}{x+4}=4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
67ФИПИ BCABB7№ 11Повышенная Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 40 км от А. Пробыв 3 часа в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:00 того же дня. Определите…
- 1
От 10:00 до 16:00 прошло 6 часов. Три часа катер стоял в пункте В, поэтому время движения составило $6-3=3$ часа.$$t_{\text{движ}}=16-10-3=3$$
- 2
Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость по течению равна $x+3$, а скорость против течения — $x-3$.
Ещё 3 шага — в полном решении
68ФИПИ BeeFB3№ 11Повышенная Два велосипедиста одновременно отправились в 70-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+4$ км/ч.
- 2
Время движения второго велосипедиста на 2 часа больше времени движения первого:$$\dfrac{70}{x} - \dfrac{70}{x+4} = 2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
69ФИПИ CF56D0№ 11Повышенная Моторная лодка прошла против течения реки 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3…
- 1
Обозначим через $x$ скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-3$, а по течению — $x+3$.
- 2
Время движения против течения на 6 часов больше времени движения по течению:$$\frac{91}{x-3}-\frac{91}{x+3}=6$$
Ещё 3 шага — в полном решении
70ФИПИ DBc2D4№ 11Повышенная От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 285 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним со скоростью на 4 км/ч больше…
- 1
Пусть скорость первого теплохода равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго теплохода равна $x+4$ км/ч.$$x>0$$
- 2
Время движения первого теплохода на 4 часа больше времени движения второго.$$\dfrac{285}{x}=\dfrac{285}{x+4}+4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
71ФИПИ DDFADF№ 11Повышенная Первый насос наполняет бак за 11 минут, второй — за 15 минут, а третий — за 1 час 50 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?
- 1
Переведём время работы третьего насоса в минуты: $1$ час $50$ минут $= 110$ минут.$$1 \cdot 60 + 50 = 110$$
- 2
Производительность насосов при совместной работе равна сумме их производительностей.$$\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{110}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
72ФИПИ F017B1№ 11Повышенная Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 35 км от А. Пробыв в пункте В 4 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите…
- 1
С 10:00 до 18:00 прошло 8 часов. Из них 4 часа катер стоял в пункте В, поэтому на движение он затратил 4 часа.$$t_{\text{движ}}=8-4=4$$
- 2
Пусть $v$ — собственная скорость катера. Тогда его скорость по течению равна $v+3$ км/ч, а против течения — $v-3$ км/ч.
Ещё 4 шага — в полном решении
73ФИПИ F23E04№ 11Повышенная Моторная лодка прошла против течения реки 168 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна…
- 1
Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $13-x$, а по течению — $13+x$.
- 2
Время движения против течения на 2 часа больше времени движения по течению:$$\dfrac{168}{13-x}-\dfrac{168}{13+x}=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
74ФИПИ F2CCA3№ 11Повышенная Моторная лодка прошла против течения реки 143 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1…
- 1
Пусть $v$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $v-1$, а по течению — $v+1$.$$v-1>0$$
- 2
Время движения против течения на 2 часа больше времени движения по течению:$$\dfrac{143}{v-1}-\dfrac{143}{v+1}=2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
75ФИПИ FAC22B№ 11Повышенная Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем…
- 1
Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+5$ литров в минуту.
- 2
Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{104}{x}$ минут, а второй — $\dfrac{104}{x+5}$ минут. По условию первая труба заполняет резервуар на 5 минут дольше.$$\dfrac{104}{x}-\dfrac{104}{x+5}=5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
76ФИПИ FC0337№ 11Повышенная Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Таня — за 36 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?
- 1
Производительность совместной работы равна $\dfrac{1}{24}$ грядки в минуту, а производительность Тани — $\dfrac{1}{36}$ грядки в минуту.
- 2
Пусть Аня пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$.
Ещё 3 шага — в полном решении
77ФИПИ FD5B44№ 11Повышенная Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45% меди, второй — 20% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 30 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40% меди. Найдите…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса первого сплава равна $x+30$ кг, а масса третьего сплава — $2x+30$ кг.
- 2
Составим уравнение по массе меди в сплавах:$$0{,}45(x+30)+0{,}2x=0{,}4(2x+30)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 72 месяца. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом…
- 1
Кредит должен быть погашен за 72 месяца, поэтому долг на 15-е число каждого следующего месяца уменьшается на одну и ту же величину:$$d = \frac{18\,000\,000}{72} = 250\,000$$
- 2
Обозначим через $D_k$ долг на 15-е число через $k$ месяцев после получения кредита. Тогда:$$D_k = 18\,000\,000 - 250\,000k$$
Ещё 4 шага — в полном решении
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; с…
- 1
Обозначим через $x$ платёж в 2027 и 2028 годах в тысячах рублей. В январе 2027 года долг увеличится на 20 %:$$800\cdot 1{,}2=960$$
- 2
После платежа $x$ в 2027 году остаток долга составит:$$960-x$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
80ФИПИ B1B74D№ 13Повышенная В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 6 млн рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года…
- 1
Так как в июле 2029 и 2030 годов долг уменьшается на 70%, каждый раз остаётся 30% долга предыдущего июля. Поэтому суммы долга в июле составляют соответственно $6000$, $1800$, $540$ и $0$ тыс. рублей.$$D_0=6000,\quad D_1=0{,}3D_0=1800,\quad D_2=0{,}3D_1=540,\quad D_3=0$$
- 2
Обозначим коэффициент январского увеличения долга через $q=1+\dfrac{r}{100}$. Первый платёж равен долгу после увеличения за январь 2029 года минус долг, оставшийся к июлю 2029 года.$$P_1=6000q-1800$$
Ещё 4 шага — в полном решении