Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Алгебраические уравнения» — с ответами

Давление при изотермическом сжатии

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 3$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1{,}4$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления…

1. 1
   Подставим значения работы, постоянной, количества вещества и температуры в формулу:$$29\,430 = 10{,}9\cdot3\cdot300\cdot\log_2\dfrac{p_2}{1{,}4}$$
2. 2
   Вычислим значение логарифма:$$\log_2\dfrac{p_2}{1{,}4}=\dfrac{29\,430}{10{,}9\cdot3\cdot300}=3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{5x+11}=4$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$5x+11=4^2$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$5x+11=16 \Rightarrow 5x=5 \Rightarrow x=1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Путь автомобиля при разгоне

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 32\,000\ \text{км}/\text{ч}^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный…

1. 1
   Возведём формулу скорости в квадрат и выразим пройденный путь.$$v^2 = 2la,\qquad l = \frac{v^2}{2a}$$
2. 2
   Подставим $v = 160$ км/ч и $a = 32\,000$ км/ч².$$l = \frac{160^2}{2 \cdot 32\,000} = \frac{25\,600}{64\,000} = 0{,}4$$

Распад радиоактивного изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$…

1. 1
   Подставим в закон распада значения $m_0 = 100$ мг, $T = 2$ мин и $m = 12{,}5$ мг.$$12{,}5 = 100 \cdot 2^{-\frac{t}{2}}$$
2. 2
   Разделим обе части уравнения на 100 и представим получившееся число как степень двойки.$$0{,}125 = 2^{-\frac{t}{2}} = 2^{-3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота по линии горизонта

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте $h$ (в километрах) над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt{2Rh}$, где $R = 6400$ км — радиус…

1. 1
   Возведём формулу расстояния до горизонта в квадрат и выразим высоту:$$l^2 = 2Rh, \qquad h = \frac{l^2}{2R}$$
2. 2
   Подставим $l = 48$ км и $R = 6400$ км:$$h = \frac{48^2}{2 \cdot 6400} = \frac{2304}{12800} = 0{,}18$$

Распад радиоактивного изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ — время (в минутах)…

1. 1
   Подставим в закон распада значения $m = 5$, $m_0 = 20$ и $T = 10$:$$5 = 20 \cdot 2^{-\frac{\tau}{10}}$$
2. 2
   Разделим обе части уравнения на 20:$$\frac{1}{4} = 2^{-\frac{\tau}{10}}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Давление при сжатии воздуха

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 6$ моль воздуха при давлении $p_1 = 2{,}5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления…

1. 1
   Подставим значения $A$, $\alpha$, $\nu$ и $T$ в формулу работы.$$10350=5{,}75\cdot6\cdot300\cdot\log_2\dfrac{p_2}{2{,}5}$$
2. 2
   Вычислим произведение постоянных множителей.$$5{,}75\cdot6\cdot300=10350$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Путь автомобиля при разгоне

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 9000\ \text{км}/\text{ч}^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный…

1. 1
   Возводим формулу скорости в квадрат и выражаем пройденный путь:$$v^2 = 2la, \qquad l = \frac{v^2}{2a}$$
2. 2
   Подставляем $v = 120\ \text{км/ч}$ и $a = 9000\ \text{км}/\text{ч}^2$:$$l = \frac{120^2}{2 \cdot 9000} = \frac{14400}{18000} = 0{,}8\ \text{км}$$

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{3x + 49} = 10$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$3x + 49 = 10^2$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$3x + 49 = 100,\quad 3x = 51,\quad x = 17$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём воздуха после сжатия

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 7$ моль воздуха объёмом $V_1 = 64$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л)…

1. 1
   Подставим известные величины в формулу работы:$$36\,540 = 5{,}8 \cdot 7 \cdot 300 \cdot \log_2 \dfrac{64}{V_2}$$
2. 2
   Вычислим коэффициент и найдём значение логарифма:$$5{,}8 \cdot 7 \cdot 300 = 12\,180,\qquad \log_2 \dfrac{64}{V_2} = \dfrac{36\,540}{12\,180} = 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Ускорение автомобиля

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км}/\text{ч}^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный…

1. 1
   Возведём данную формулу в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня.$$v^2 = 2la$$
2. 2
   Выразим ускорение через скорость и пройденный путь.$$a = \dfrac{v^2}{2l}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{6x+57}=9$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$6x+57=9^2$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$6x+57=81,\quad 6x=24,\quad x=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{76 - 2x} = 8$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$76 - 2x = 8^2 = 64$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$2x = 76 - 64 = 12,\quad x = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{22 - 3x} = 2$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$22 - 3x = 2^2$$
2. 2
   Решаем получившееся линейное уравнение:$$22 - 3x = 4 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{8x-20}=2$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$8x-20=2^2$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$8x-20=4 \Rightarrow 8x=24 \Rightarrow x=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Путь автомобиля при разгоне

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 4500\ \text{км}/\text{ч}^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный…

1. 1
   Возводим формулу скорости в квадрат и выражаем пройденный путь.$$v^2 = 2la,\qquad l = \dfrac{v^2}{2a}$$
2. 2
   Подставляем $v = 90$ км/ч и $a = 4500\ \text{км}/\text{ч}^2$.$$l = \dfrac{90^2}{2 \cdot 4500} = \dfrac{8100}{9000} = 0.9$$

Концентрация кислоты в сосуде

Имеется два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй — 25 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30 % кислоты. Если же смешать равные…

1. 1
   Пусть $x$ — доля кислоты в первом растворе, а $y$ — доля кислоты во втором растворе.$$x=\frac{p_1}{100},\quad y=\frac{p_2}{100}$$
2. 2
   При смешивании равных масс растворов концентрация равна среднему арифметическому концентраций.$$\frac{x+y}{2}=0{,}36,\quad x+y=0{,}72$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Показательное уравнение и отрезок

Решите уравнение $27^x - 28 \cdot 3^{x+1} + 3^{5-x} = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\sqrt{3};\log_2 5]$.

1. 1
   Представим первое слагаемое и выполним замену переменной: $27^x = 3^{3x} = (3^x)^3$. Обозначим $t = 3^x$, тогда $t > 0$.$$t^3 - 84t + \frac{243}{t} = 0$$
2. 2
   Умножим уравнение на $t$, поскольку $t > 0$.$$t^4 - 84t^2 + 243 = 0$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Решение уравнения на отрезке

Решите уравнение. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие заданному отрезку.

1. 1
   В распознанном тексте и на приложенном изображении приведены только пункты задания, но отсутствуют формула уравнения и границы отрезка.
2. 2
   Без уравнения невозможно найти его корни, а без границ отрезка невозможно определить, какие из корней подходят для пункта б).

Распад радиоактивного изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ — время, прошедшее от…

1. 1
   Подставим начальную массу, период полураспада и конечную массу в закон распада.$$39 = 156 \cdot 2^{-\frac{\tau}{8}}$$
2. 2
   Разделим обе части уравнения на 156 и представим дробь как степень двойки.$$2^{-\frac{\tau}{8}} = \frac{39}{156} = \frac{1}{4} = 2^{-2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении