Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $5 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 14 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 5 строк имеется 4 пары соседних клеток по горизонтали, поэтому горизонтальных пар $5 \cdot 4 = 20$.
2. 2
   Аналогично, вертикальных пар также $5 \cdot 4 = 20$. Всего пар соседних клеток:$$20 + 20 = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 15 и 16. Найдите периметр…

1. 1
   Обозначим ширины верхнего и нижнего рядов через $a$ и $b$, а высоты левого и правого столбцов — через $c$ и $d$.$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$
2. 2
   Сложим половины периметров левого верхнего и правого нижнего прямоугольников.$$\frac{P_1}{2}+\frac{P_3}{2}=a+c+b+d$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 8. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 3?

1. 1
   Пусть исходные множители равны $x$ и $y$. По условию:$$(x+1)(y+1)-xy=8$$
2. 2
   Раскрываем скобки и находим сумму множителей:$$xy+x+y+1-xy=8 \Rightarrow x+y=7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь…

1. 1
   Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. Для четырёх частей исходного прямоугольника произведения площадей противоположных частей равны.$$12 \cdot 30 = 18x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь:$$x = \dfrac{12 \cdot 30}{18} = 20$$

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3600 рублей, а за каждый следующий метр — на 1400 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3600 рублей и разностью 1400 рублей.$$a_1=3600,\quad d=1400,\quad n=8$$
2. 2
   Найдём стоимость восьмого метра.$$a_8=a_1+7d=3600+7\cdot1400=13400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $4 \times 7$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 26 пар соседних клеток разного цвета и 9 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   Число горизонтальных пар соседних клеток равно $4 \cdot 6 = 24$, а число вертикальных пар — $7 \cdot 3 = 21$.$$N = 4 \cdot (7 - 1) + 7 \cdot (4 - 1) = 24 + 21 = 45$$
2. 2
   Все пары соседних клеток делятся на пары разного цвета, пары чёрных клеток и пары белых клеток.$$N_{\text{белых}} = 45 - 26 - 9 = 10$$

Количество строк таблицы

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 125, во втором — 97, в третьем — 71, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$125+97+71=293$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 23 и меньшее 26. Следовательно, она равна 24 или 25.

Ещё 2 шага — в полном решении

Печенье и варенье

Маша и Медведь съели 85 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре…

1. 1
   Пусть Маша ест со скоростью $v$, а Медведь — со скоростью $4v$. Пусть всё время еды равно $t$, а Маша ела варенье в течение времени $\tau$.
2. 2
   Маша съела варенья $v\tau$, а Медведь — $4v(t-\tau)$. По условию эти количества равны:$$v\tau = 4v(t-\tau)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Количество досок по распилам

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 12 поперечных распилов, в итоге получилось 22 куска. Сколько досок взяли?

1. 1
   Пусть взяли $x$ досок. До распиливания было $x$ кусков.
2. 2
   Каждый распил увеличивает число кусков на один, поэтому после 12 распилов стало $x + 12$ кусков.$$x + 12 = 22$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество груздей в корзине

В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

1. 1
   Если бы груздей было не менее 28, можно было бы выбрать 28 груздей, среди которых нет ни одного рыжика. Поэтому груздей не больше 27.$$g \leq 27$$
2. 2
   Если бы рыжиков было не менее 24, можно было бы выбрать 24 рыжика, среди которых нет ни одного груздя. Поэтому рыжиков не больше 23.$$r \leq 23$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

1. 1
   Если посчитать все провода, отходящие от столбов, каждый провод будет учтён два раза — по одному разу у каждого из двух соединённых столбов.$$8 \cdot 7$$
2. 2
   Делим полученную сумму на два, чтобы получить число проводов.$$\dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28$$

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 70 км, между А и В — 60 км, между В и Г — 35 км, между Г и А — 45 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Обозначим длину кольцевой дороги через $L$. Отложим от точки А дугу до точки В длиной $60$ км, а до точки Г — в противоположном направлении дугу длиной $45$ км. Тогда дуга от В до Г через противоположную часть кольца имеет длину…$$L-105=35$$
2. 2
   Находим длину кольцевой дороги:$$L=35+105=140$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество строк таблицы

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 137, во втором — 160, в третьем — 185, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$137 + 160 + 185 = 482$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 24 и меньшее 27. Поэтому она может быть равна только 25 или 26.

Ещё 2 шага — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по пять квартир. Петя живёт в квартире № 32. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На первом этаже находятся квартиры с номерами от 1 до 5, на втором — от 6 до 10 и так далее.
2. 2
   Определим номер этажа для квартиры № 32:$$\left\lceil\frac{32}{5}\right\rceil = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с двумя. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Посчитаем суммарное количество договоров, заключённых всеми странами: четыре страны подписали по пять договоров, а шесть стран — по два договора.$$4 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 32$$
2. 2
   Каждый договор заключён двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$N = \dfrac{32}{2} = 16$$

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 17, 15 и 18. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$. Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке имеют вид:$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$
2. 2
   В сумме $P_1+P_3$ каждое из измерений $a$, $b$, $c$, $d$ встречается один раз. То же самое верно для суммы $P_2+P_4$. Поэтому $P_1+P_3=P_2+P_4$.$$P_4=P_1+P_3-P_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 7 и 11. Найдите…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$. Тогда периметры четырёх прямоугольников равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.
2. 2
   Сумма периметров прямоугольников, расположенных по одной диагонали, равна сумме периметров прямоугольников по другой диагонали:$$2(a+c)+2(b+d)=2(b+c)+2(a+d)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 5, 10 и 18. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. У верхних прямоугольников одинаковая высота, поэтому отношение их площадей равно отношению ширин. То же отношение имеют площади нижних прямоугольников.$$\frac{5}{10}=\frac{x}{18}$$
2. 2
   Решим пропорцию:$$x=\frac{5\cdot18}{10}=9$$

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое семи различных натуральных чисел равно 10. Среднее арифметическое этих чисел и восьмого числа равно 11. Чему равно восьмое число?

1. 1
   Сумма семи чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_7 = 7 \cdot 10 = 70$$
2. 2
   Сумма восьми чисел равна:$$S_8 = 8 \cdot 11 = 88$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, чтобы сумма всех чисел в первом столбце была равна 85, во втором — 77, в третьем — 71, а сумма…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$85+77+71=233$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 12 и меньшее 15, поэтому она равна 13 или 14.

Ещё 2 шага — в полном решении