Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Определение номера подъезда

В доме, в котором живёт Дина, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Дина живёт в квартире № 51. В каком подъезде живёт Дина?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры № 1–25, во втором — № 26–50, в третьем — № 51–75. Квартира № 51 находится в третьем подъезде.

Печенья и варенье

Маша и Медведь съели 110 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в два…

1. 1
   Пусть общее время еды равно $T$, а время до обмена — $t$. Скорость Медведя в два раза больше скорости Маши. Из условия о равенстве съеденного варенья получаем:$$t = 2(T-t)$$
2. 2
   Отсюда время до обмена составляет:$$t = \frac{2T}{3}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Доски и поперечные распилы

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 7 поперечных распилов, в итоге получилось 19 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Изначально каждая доска является одним куском. Каждый распил увеличивает общее число кусков на один.$$19 = x + 7$$
2. 2
   Найдём количество досок:$$x = 19 - 7 = 12$$

Найти загаданное число

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как каждое из чисел $A$, $B$ и $C$ больше 4, но меньше 8, каждое из них принимает одно из значений $5$, $6$ или $7$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию составляем уравнение:$$Ax+B-C=213$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Соня, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Соня живёт в квартире № 84. В каком подъезде живёт Соня?

1. 1
   В одном подъезде находится $9 \cdot 3 = 27$ квартир.$$9 \cdot 3 = 27$$
2. 2
   Квартиры с номерами от 1 до 27 находятся в первом подъезде, от 28 до 54 — во втором, от 55 до 81 — в третьем. Квартира № 84 находится в следующем, четвёртом подъезде.$$84 = 3 \cdot 27 + 3$$

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, их произведение увеличилось бы на 33. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 4?

1. 1
   Обозначим два множителя через $a$ и $b$. По условию:$$(a+1)(b+1)-ab=33$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+a+b+1-ab=33,\quad a+b=32$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 75 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 60 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Рассмотрим дугу от А до Г, проходящую через В. Её длина равна сумме расстояний АВ и ВГ.$$50 + 40 = 90$$
2. 2
   Кратчайшая дуга между А и Г имеет длину 60 км, поэтому длина всей кольцевой дороги равна:$$90 + 60 = 150$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число жильцов в доме

В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше четырёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в…

1. 1
   Обозначим через $s$ суммарное число жильцов в 11-й и 12-й квартирах. Тогда в квартирах с 1-й по 10-ю живёт $14-s$ человек.$$14-s \geq 10$$
2. 2
   Так как в каждой из первых десяти квартир живёт не менее одного человека, получаем $s \leq 4$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них равны 21, 11 и 4. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

1. 1
   Обозначим ширины левого и правого столбцов через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — через $c$ и $d$.
2. 2
   По данным периметров получаем:$$a+c=\frac{21}{2},\quad b+c=\frac{11}{2},\quad b+d=\frac{4}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 13, 14 и 12. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников выражаются так:$$2(a+c)=13,\quad 2(b+c)=14,\quad 2(b+d)=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Девять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 8 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими девятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее число концов проводов, отходящих от всех столбов:$$9 \cdot 8 = 72$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$N=\dfrac{72}{2}=36$$

Подсчёт проводов между столбами

Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 5 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее количество проводов, отходящих от всех столбов. Каждый из восьми столбов имеет по пять проводов.$$8 \cdot 5 = 40$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$40 : 2 = 20$$

Число жителей дома

В доме всего десять квартир, их номера от 1 до 10. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше четырёх человек. В квартирах с 1-й по 6-ю включительно живёт суммарно 9 человек, а в квартирах…

1. 1
   Обозначим число жителей в квартирах с 4-й по 6-ю через $S$. В первых трёх квартирах живёт не менее трёх человек, поэтому из условия о первых шести квартирах получаем верхнюю границу:$$S \leq 9-3=6$$
2. 2
   В квартирах с 7-й по 10-ю может жить не более 16 человек, так как в каждой из них не более четырёх жителей. Поэтому из условия о квартирах с 4-й по 10-ю получаем нижнюю границу:$$S \geq 22-16=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от середины отмечены тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если разрезать ленту…

1. 1
   При разрезе на расстоянии $d$ от середины разность длин получившихся частей равна удвоенному расстоянию до середины.$$\Delta = 2d$$
2. 2
   Расстояние от красной полоски до середины ленты:$$d_{\text{кр}} = \frac{30}{2} = 15\text{ см}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 49. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На каждом этаже расположено 6 квартир. Первые 48 квартир занимают 8 этажей:$$48 : 6 = 8$$
2. 2
   Квартира № 49 находится на следующем, девятом этаже.$$49 = 8 \cdot 6 + 1$$

Печенья Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в два…

1. 1
   Пусть первый этап длился $t$, а второй — $s$. Обозначим скорость Маши при еде варенья за $v$, тогда скорость Медведя равна $2v$.$$vt=2vs$$
2. 2
   Так как варенья они съели поровну, продолжительности этапов связаны соотношением $t=2s$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее число концов проводов, отходящих от всех столбов.$$10 \cdot 7 = 70$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$70 : 2 = 35$$

Изменение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 11. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 2?

1. 1
   Обозначим два множителя через $x$ и $y$. По условию увеличение каждого множителя на 1 увеличивает произведение на 11:$$(x+1)(y+1)-xy=11$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$x+y+1=11,\quad x+y=10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 14, 21 и 27. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Отношение ширины левого и правого столбцов одинаково для верхней и нижней строк, поэтому$$\frac{14}{21} = \frac{x}{27}$$
2. 2
   Решим пропорцию:$$21x = 14 \cdot 27$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Розы в синей вазе

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: синяя, белая и фиолетовая. Слева от фиолетовой вазы 21 роза, справа от белой вазы 12 роз. Всего в вазах 26 роз. Сколько роз в синей вазе?

1. 1
   Обозначим количество роз в синей, белой и фиолетовой вазах соответственно через $b$, $w$ и $p$. По условию слева от фиолетовой вазы находится 21 роза, а справа от белой — 12 роз.$$b+w=21,\quad p=12$$
2. 2
   Всего в вазах 26 роз, поэтому количество роз в синей вазе можно найти как разность между количеством роз слева от фиолетовой вазы и количеством роз в белой вазе. Используя общую сумму, получаем:$$b=26-21+?$$

Ещё 1 шаг — в полном решении