Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^6}{2^4 \cdot 2^{-1}}$.

1. 1
   Объединим степени с основанием $2$ в знаменателе:$$2^4 \cdot 2^{-1} = 2^{4+(-1)} = 2^3$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{2^6}{2^3} = 2^{6-3} = 2^3 = 8$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $(2\sqrt{10}-6)(2\sqrt{10}+6)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=2\sqrt{10}$ и $b=6$.$$(2\sqrt{10}-6)(2\sqrt{10}+6)=(2\sqrt{10})^2-6^2=4\cdot10-36=4$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{2}224 - \log_{2}7$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_{2}224 - \log_{2}7 = \log_{2}\left(\dfrac{224}{7}\right)$$
2. 2
   Вычислим частное и представим его как степень двойки:$$\log_{2}\left(\dfrac{224}{7}\right) = \log_{2}32 = \log_{2}2^5 = 5$$

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(7 \cdot 10^5) \cdot (1{,}3 \cdot 10^{-7})$.

1. 1
   Перемножим числовые коэффициенты и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием.$$(7 \cdot 10^5) \cdot (1{,}3 \cdot 10^{-7}) = (7 \cdot 1{,}3) \cdot 10^{5+(-7)}$$
2. 2
   Вычислим полученное выражение.$$9{,}1 \cdot 10^{-2} = 0{,}091$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{2^7 \cdot 5^6}{10^5}$.

1. 1
   Разложим число $10^5$ на простые множители:$$10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{2^7 \cdot 5^6}{2^5 \cdot 5^5} = 2^{7-5} \cdot 5^{6-5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_3 54 - \log_3 2$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 \frac{54}{2}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень числа $3$:$$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{99} \cdot \sqrt{11}$.

1. 1
   Применим свойство произведения квадратных корней:$$\sqrt{99} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{99 \cdot 11}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень:$$\sqrt{99 \cdot 11} = \sqrt{1089} = 33$$

Значение арифметического корня

Найдите значение выражения $\sqrt{4^2 \cdot 3^2}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратов в квадрат произведения:$$4^2 \cdot 3^2=(4\cdot3)^2$$
2. 2
   Извлечём арифметический квадратный корень:$$\sqrt{(4\cdot3)^2}=4\cdot3=12$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $8{,}8 \cdot 10^3 + 5{,}5 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим первое слагаемое:$$8{,}8 \cdot 10^3 = 8{,}8 \cdot 1000 = 8800$$
2. 2
   Вычислим второе слагаемое:$$5{,}5 \cdot 10^2 = 5{,}5 \cdot 100 = 550$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{20} 2 + \log_{20} 10$.

1. 1
   Применяем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$$
2. 2
   Объединяем логарифмы и вычисляем значение.$$\log_{20} 2 + \log_{20} 10 = \log_{20}(2 \cdot 10) = \log_{20}20 = 1$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{6^{24} \cdot 4^{21}}{24^{22}}$.

1. 1
   Разложим числа на простые множители и возведём их в соответствующие степени.$$\dfrac{6^{24}\cdot4^{21}}{24^{22}}=\dfrac{(2\cdot3)^{24}\cdot(2^2)^{21}}{(2^3\cdot3)^{22}}$$
2. 2
   Соберём степени двойки и тройки.$$\dfrac{2^{24}3^{24}\cdot2^{42}}{2^{66}3^{22}}=2^{24+42-66}\cdot3^{24-22}=3^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_5 0{,}2 + \log_5 125$.

1. 1
   Представим числа под знаками логарифмов в виде степеней числа $5$:$$0{,}2 = 5^{-1},\quad 125 = 5^3$$
2. 2
   Вычислим логарифмы:$$\log_5 0{,}2 + \log_5 125 = \log_5 5^{-1} + \log_5 5^3 = -1 + 3 = 2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $7{,}8 \cdot 10^3 + 2{,}1 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим первое произведение:$$7{,}8 \cdot 10^3 = 7{,}8 \cdot 1000 = 7800$$
2. 2
   Вычислим второе произведение:$$2{,}1 \cdot 10^2 = 2{,}1 \cdot 100 = 210$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $4 \cdot 2^4 + 3 \cdot 2^3$.

1. 1
   Вычислим степени двойки:$$2^4 = 16,\quad 2^3 = 8$$
2. 2
   Подставим полученные значения в выражение:$$4 \cdot 16 + 3 \cdot 8 = 64 + 24 = 88$$

Упрощение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{3}{2}\sqrt{20}\cdot\sqrt{5}$.

1. 1
   Объединим произведение арифметических корней:$$\sqrt{20}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{20\cdot5}=\sqrt{100}=10$$
2. 2
   Подставим найденное значение в исходное выражение:$$\dfrac{3}{2}\cdot10=15$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(-10)^4 + (-10)^3 + (-10)^0$.

1. 1
   Вычислим степени с ненулевыми показателями:$$(-10)^4 = 10000,\quad (-10)^3 = -1000$$
2. 2
   Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице:$$(-10)^0 = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{9^{10} \cdot 3^2}{27^7}$.

1. 1
   Представим числа $9$ и $27$ как степени числа $3$:$$9^{10} = (3^2)^{10},\quad 27^7 = (3^3)^7$$
2. 2
   Применим свойства степеней при умножении и делении:$$\dfrac{(3^2)^{10} \cdot 3^2}{(3^3)^7} = \dfrac{3^{20} \cdot 3^2}{3^{21}} = 3^{20+2-21}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение произведения корней

Найдите значение выражения $\sqrt{54} \cdot \sqrt{1{,}5}$.

1. 1
   Объединим произведение корней под одним знаком корня.$$\sqrt{54} \cdot \sqrt{1{,}5} = \sqrt{54 \cdot 1{,}5}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{54 \cdot 1{,}5} = \sqrt{81} = 9$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^5}{3^3 \cdot 3}$.

1. 1
   Представим произведение в знаменателе как степень с основанием $3$:$$3^3 \cdot 3 = 3^3 \cdot 3^1 = 3^4$$
2. 2
   Используем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{3^5}{3^4}=3^{5-4}=3$$

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{4^4}{4^5 \cdot 4^{-3}}$.

1. 1
   Объединим степени в знаменателе, сложив их показатели:$$4^5 \cdot 4^{-3}=4^{5+(-3)}=4^2$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{4^4}{4^2}=4^{4-2}=4^2=16$$