Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^4 \cdot 6^6}{12^5}$.

1. 1
   Разложим числа $6$ и $12$ на простые множители:$$6 = 2 \cdot 3,\quad 12 = 2^2 \cdot 3$$
2. 2
   Подставим разложения в выражение и раскроем степени произведений:$$\dfrac{2^4 \cdot 6^6}{12^5} = \dfrac{2^4 \cdot (2 \cdot 3)^6}{(2^2 \cdot 3)^5} = \dfrac{2^4 \cdot 2^6 \cdot 3^6}{2^{10} \cdot 3^5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифма

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt{2}} 2^5$.

1. 1
   Представим основание логарифма в виде степени числа $2$:$$\sqrt{2}=2^{1/2}$$
2. 2
   По определению логарифма приравниваем степени двойки:$$(2^{1/2})^x=2^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-5} \cdot 3^9}{3^2}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{3^{-5} \cdot 3^9}{3^2} = 3^{-5+9-2}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени и значение выражения.$$3^{-5+9-2} = 3^2 = 9$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_3 351 - \log_3 13$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_3 351 - \log_3 13 = \log_3 \frac{351}{13}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим его как степень числа 3:$$\frac{351}{13} = 27 = 3^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Степени и упрощение выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{6^{20}\cdot 3^{19}}{18^{18}}$.

1. 1
   Разложим число $18$ на множители $6$ и $3$ и применим свойство степени произведения.$$18^{18}=(6\cdot 3)^{18}=6^{18}\cdot 3^{18}$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями.$$\dfrac{6^{20}\cdot 3^{19}}{6^{18}\cdot 3^{18}}=6^{20-18}\cdot 3^{19-18}=6^2\cdot 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{5}150 - \log_{5}6$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_{5}150 - \log_{5}6 = \log_{5}\left(\dfrac{150}{6}\right)$$
2. 2
   Вычислим отношение чисел и представим результат как степень основания логарифма.$$\log_{5}\left(\dfrac{150}{6}\right) = \log_{5}25 = \log_{5}5^2 = 2$$

Умножение чисел в стандартном виде

Найдите значение выражения $(4 \cdot 10^5) \cdot (2{,}3 \cdot 10^{-7})$.

1. 1
   Перемножим числовые коэффициенты.$$4 \cdot 2{,}3 = 9{,}2$$
2. 2
   При умножении степеней десяти показатели складываются.$$10^5 \cdot 10^{-7} = 10^{5-7} = 10^{-2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(-10)^4 + (-10)^2 + (-10)^1$.

1. 1
   Вычислим значения степеней с чётными показателями:$$(-10)^4=10000,\quad (-10)^2=100$$
2. 2
   Степень с показателем $1$ равна самому основанию:$$(-10)^1=-10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}5 \cdot 10^2}{5 \cdot 10^{-1}}$.

1. 1
   Вычислим степени десяти в числителе и знаменателе.$$10^2 = 100, \quad 10^{-1} = 0{,}1$$
2. 2
   Подставим полученные значения в выражение.$$\dfrac{1{,}5 \cdot 100}{5 \cdot 0{,}1} = \dfrac{150}{0{,}5} = 300$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_{2}(\log_{3}9+2)$.

1. 1
   Вычислим внутренний логарифм:$$\log_{3}9=2$$
2. 2
   Подставим полученное значение в исходное выражение:$$\log_{2}(\log_{3}9+2)=\log_{2}(2+2)=\log_{2}4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{36}{(2\sqrt{6})^2}$.

1. 1
   Возведём знаменатель в квадрат:$$(2\sqrt{6})^2=2^2\cdot(\sqrt{6})^2=4\cdot6=24$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение:$$\dfrac{36}{24}=1{,}5$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(0{,}1)^3 \cdot 10^4 : 2^{-3}$.

1. 1
   Представим десятичную дробь в виде степени десяти:$$0{,}1 = 10^{-1}$$
2. 2
   Вычислим произведение степеней десяти:$$(0{,}1)^3 \cdot 10^4 = (10^{-1})^3 \cdot 10^4 = 10^{-3+4} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(-10)^3 + (-10)^2 + (-10)^0$.

1. 1
   Вычислим значения степеней:$$(-10)^3=-1000,\quad (-10)^2=100,\quad (-10)^0=1$$
2. 2
   Сложим полученные значения:$$-1000+100+1=-899$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{7\cdot 33}{11\cdot 21}}$.

1. 1
   Вычислим числитель и знаменатель подкоренного выражения:$$7\cdot 33=231,\qquad 11\cdot 21=231$$
2. 2
   Подкоренное выражение равно единице, поэтому его арифметический квадратный корень также равен единице.$$\sqrt{\dfrac{7\cdot 33}{11\cdot 21}}=\sqrt{\dfrac{231}{231}}=\sqrt{1}=1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $6 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1)^5$.

1. 1
   Вычислим степени числа $-1$: показатель $2$ чётный, поэтому $(-1)^2 = 1$; показатель $5$ нечётный, поэтому $(-1)^5 = -1$.$$(-1)^2=1,\quad (-1)^5=-1$$
2. 2
   Подставим полученные значения в выражение и выполним вычисления.$$6\cdot 1+4\cdot(-1)=6-4=2$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{128}}{\sqrt{2}}$.

1. 1
   Применим свойство частного арифметических корней.$$\dfrac{\sqrt{128}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{128}{2}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{\dfrac{128}{2}} = \sqrt{64} = 8$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{7} 9{,}8 + \log_{7} 35$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_{7} 9{,}8 + \log_{7} 35 = \log_{7}(9{,}8 \cdot 35)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов и представим результат как степень семёрки.$$9{,}8 \cdot 35 = 343 = 7^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Степень с логарифмом

Найдите значение выражения $6^{1+\log_6 4}$.

1. 1
   Представим единицу как логарифм по основанию $6$:$$1=\log_6 6$$
2. 2
   Объединим сумму логарифмов и применим основное свойство логарифма:$$6^{1+\log_6 4}=6^{\log_6 6+\log_6 4}=6^{\log_6(6\cdot4)}=6^{\log_6 24}=24$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 12 - \log_2 3$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \frac{12}{3}$$
2. 2
   Вычислим частное и значение логарифма.$$\log_2 \frac{12}{3} = \log_2 4 = 2$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $6^{3\log_6 2}$.

1. 1
   Преобразуем произведение в показателе степени по свойству логарифма:$$3\log_6 2=\log_6 2^3$$
2. 2
   Применяем основное свойство логарифма:$$6^{3\log_6 2}=6^{\log_6 2^3}=2^3=8$$