Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_5 2{,}5 + \log_5 10$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_5 2{,}5 + \log_5 10 = \log_5(2{,}5 \cdot 10)$$
2. 2
   Вычислим произведение и представим его как степень пятёрки:$$2{,}5 \cdot 10 = 25 = 5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{36^5}{6^7}$.

1. 1
   Представим число $36$ как степень числа $6$:$$36 = 6^2$$
2. 2
   Преобразуем числитель:$$36^5 = (6^2)^5 = 6^{10}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(3\sqrt{2}-\sqrt{10})(3\sqrt{2}+\sqrt{10})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.$$(3\sqrt{2}-\sqrt{10})(3\sqrt{2}+\sqrt{10})=(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{10})^2$$
2. 2
   Вычислим квадраты подкоренных выражений.$$(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{10})^2=9\cdot2-10=18-10=8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{10^{11}\cdot 5^{10}}{50^9}$.

1. 1
   Представим знаменатель как степень произведения $5\cdot 10$:$$50^9=(5\cdot 10)^9=5^9\cdot 10^9$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{10^{11}\cdot 5^{10}}{5^9\cdot 10^9}=10^{11-9}\cdot 5^{10-9}=10^2\cdot 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $2 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3^2$.

1. 1
   Вычислим степени числа $3$:$$3^3 = 27, \quad 3^2 = 9$$
2. 2
   Подставим полученные значения в выражение и выполним умножение:$$2 \cdot 27 + 4 \cdot 9 = 54 + 36 = 90$$

Деление квадратных корней

Найдите значение выражения $\dfrac{7\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$.

1. 1
   Объединим корни в один корень:$$\dfrac{7\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{\dfrac{50}{2}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и извлечём квадратный корень:$$7\sqrt{\dfrac{50}{2}} = 7\sqrt{25} = 7 \cdot 5 = 35$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $7 \cdot 10^3 + 9 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1$.

1. 1
   Вычислим значения степеней десяти и умножим на соответствующие коэффициенты.$$7 \cdot 10^3 = 7000,\quad 9 \cdot 10^2 = 900,\quad 8 \cdot 10^1 = 80$$
2. 2
   Сложим полученные значения.$$7000 + 900 + 80 = 7980$$

Преобразование степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{14} \cdot 5^{13}}{20^{12}}$.

1. 1
   Представим знаменатель в виде произведения степеней чисел $4$ и $5$:$$20^{12} = (4 \cdot 5)^{12} = 4^{12} \cdot 5^{12}$$
2. 2
   Сократим степени в числителе и знаменателе:$$\dfrac{4^{14} \cdot 5^{13}}{4^{12} \cdot 5^{12}} = 4^{14-12} \cdot 5^{13-12} = 4^2 \cdot 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(3 \cdot 10^2) \cdot (1{,}8 \cdot 10^{-3})$.

1. 1
   Перемножим числовые множители и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием.$$(3 \cdot 10^2) \cdot (1{,}8 \cdot 10^{-3}) = (3 \cdot 1{,}8) \cdot 10^{2+(-3)}$$
2. 2
   Вычислим полученное выражение.$$5{,}4 \cdot 10^{-1} = 0{,}54$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{24}-\sqrt{6})\cdot\sqrt{6}$.

1. 1
   Разложим число $24$ на множители и упростим первый корень.$$\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним вычитание.$$(\sqrt{24}-\sqrt{6})\cdot\sqrt{6}=(2\sqrt{6}-\sqrt{6})\cdot\sqrt{6}=\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{8}{3}\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней:$$\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{27\cdot3}=\sqrt{81}=9$$
2. 2
   Подставим найденное значение в исходное выражение:$$\dfrac{8}{3}\cdot9=24$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{8^5}{2^8}:4^2$.

1. 1
   Представим числа $8$ и $4$ степенями числа $2$:$$8=2^3,\quad 4=2^2$$
2. 2
   Применим свойства степеней при делении:$$\dfrac{8^5}{2^8}:4^2=\dfrac{(2^3)^5}{2^8}:(2^2)^2=2^{15-8-4}=2^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $4 \cdot 10^{-3} + 5 \cdot 10^{-1} + 8 \cdot 10^{-2}$.

1. 1
   Заменим степени десяти отрицательными показателями на десятичные дроби.$$10^{-3}=0{,}001,\quad 10^{-1}=0{,}1,\quad 10^{-2}=0{,}01$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение.$$4 \cdot 0{,}001 + 5 \cdot 0{,}1 + 8 \cdot 0{,}01 = 0{,}004 + 0{,}5 + 0{,}08 = 0{,}584$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $4 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим значения степеней десяти:$$10^{-1}=0{,}1,\quad 10^1=10,\quad 10^2=100$$
2. 2
   Подставим полученные значения в выражение:$$4\cdot 0{,}1+5\cdot 10+3\cdot 100=0{,}4+50+300=350{,}4$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим.$$(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})=(\sqrt{11})^2-(\sqrt{3})^2=11-3=8$$

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(4 \cdot 10^{-6}) \cdot (2{,}2 \cdot 10^3)$.

1. 1
   Перемножим числовые коэффициенты.$$4 \cdot 2{,}2 = 8{,}8$$
2. 2
   Перемножим степени десяти, сложив их показатели.$$10^{-6} \cdot 10^3 = 10^{-6+3} = 10^{-3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Преобразование выражения с корнем

Найдите значение выражения $(4\sqrt{11}-1)(4\sqrt{11}+1)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению суммы и разности.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=4\sqrt{11}$ и $b=1$.$$(4\sqrt{11})^2-1^2=16\cdot11-1=176-1=175$$

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{10} \cdot \sqrt{6{,}4}$.

1. 1
   Объединим произведение арифметических квадратных корней:$$\sqrt{10} \cdot \sqrt{6{,}4} = \sqrt{10 \cdot 6{,}4}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и найдём его квадратный корень:$$\sqrt{10 \cdot 6{,}4} = \sqrt{64} = 8$$

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{24} \cdot \sqrt{6}$.

1. 1
   Объединим произведение корней в один корень:$$\sqrt{24} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{24 \cdot 6}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень:$$\sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12$$

Преобразование выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{45} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$.

1. 1
   Преобразуем первый корень:$$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и упростим скобки:$$(\sqrt{45} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = (3\sqrt{5} - \sqrt{5})\cdot\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении