Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол в окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 70^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, равна удвоенному углу.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot70^\circ=140^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-140^\circ=40^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 40$, $\tg A = \dfrac{7}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 20$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению тангенса угла $A$ найдём высоту $BM$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{7}{5},\quad BM = 20 \cdot \dfrac{7}{5} = 28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина проекции катета

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 14$, $\sin A = 0{,}5$. Найдите длину отрезка $BH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы.$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{14}{0{,}5} = 28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стороны параллелограмма по диагонали

Обе диагонали параллелограмма равны 41. Одна из сторон параллелограмма равна 9. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
2. 2
   Обозначим неизвестную сторону через $x$. По теореме Пифагора:$$9^2 + x^2 = 41^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол на прямой

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 55^\circ$. Найдите угол $CMA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, то $\angle DMB = \angle DMC = 55^\circ$.$$\angle CMB = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ$$
2. 2
   Луч $MA$ и луч $MB$ являются противоположными, поэтому смежные углы $CMA$ и $CMB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle CMA = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 11…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника.$$p = \frac{11+13+20}{2} = 22$$
2. 2
   Применим формулу Герона.$$S = \sqrt{22(22-11)(22-13)(22-20)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 5 и 13, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 10\sin 150^\circ$$
2. 2
   Так как $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, высота трапеции равна:$$h = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $70^\circ$, угол $CAD$ равен $49^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина в два раза больше угла $ABC$.$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot70^\circ=140^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому величина дуги $CD$ равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot49^\circ=98^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Радиус окружности по хорде

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 20$, $BC = 21$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр окружности.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{841} = 29$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Ширина прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 60 см, а высота экрана 36 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его высоты и ширины.$$60^2 = 36^2 + x^2$$
2. 2
   Найдём квадрат ширины:$$x^2 = 60^2 - 36^2 = 3600 - 1296 = 2304$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол на прямой

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 81^\circ$. Найдите величину угла $CMA$.

1. 1
   Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому углы $DMC$ и $DMB$ равны.$$\angle DMB = \angle DMC = 81^\circ$$
2. 2
   Вычислим величину угла $CMB$.$$\angle CMB = \angle DMC + \angle DMB = 81^\circ + 81^\circ = 162^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между спицами

Колесо имеет 8 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Восемь спиц делят полный угол вокруг центра колеса на 8 равных углов.$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{8}$$
2. 2
   Вычисляем величину угла между соседними спицами.$$\alpha = 45^\circ$$

Длина стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите длину стороны $AB$, если $BM = 18$, $AC = 48$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$$
2. 2
   Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора:$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 24^2 + 18^2 = 900$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла во второй четверти

Найдите $\tg\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{26}}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1. 1
   Так как $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, угол находится во второй четверти, поэтому косинус отрицателен.
2. 2
   Найдём косинус угла по основному тригонометрическому тождеству.$$\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha = 1-\frac{1}{26} = \frac{25}{26},\quad \cos\alpha=-\frac{5}{\sqrt{26}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 26, $\tg \angle CAD = 0{,}65$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{AB}{AD}$$
2. 2
   Найдём длину стороны $AD$.$$AD = \frac{AB}{\tg \angle CAD} = \frac{26}{0{,}65} = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $42$, $\tg \angle CAD = \dfrac{9}{28}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 42$.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{9}{28}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}1$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб подпирает горку посередине, поэтому он образует малый треугольник, подобный всей треугольной горке, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$l = \frac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \frac{2{,}1}{2} = 1{,}05$$

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 23$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол $A$ и внешний угол при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенузой.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза по внешнему углу

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 26$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными, поэтому внутренний угол равен$$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$\cos 60^\circ = \frac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $7$, а $\tg A = 1{,}75$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM$.$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём длину половины основания.$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{7}{1{,}75} = 4$$

Ещё 2 шага — в полном решении