ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Косинус острого угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{51}$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - (\sqrt{51})^2 = 100 - 51 = 49$$
2. 2
   Следовательно, $BC = 7$. Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{10} = 0{,}7$$

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 19$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Поскольку $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Радиусы $OA$ и $OC$ равны, поэтому треугольник $AOC$ равнобедренный. При угле между равными сторонами $60^\circ$ он является равносторонним.$$OA = AC = 19$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Синус угла в окружности

На окружности радиусом 40 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 12$. Найдите $\sin \angle ABC$.

1. 1
   Угол $ACB$ прямой, так как он опирается на диаметр окружности.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Найдём длину диаметра окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 40 = 80$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 104, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований трапеции равна $104-56=48$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется по краям, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $48:2=24$.$$x=\frac{104-56}{2}=24$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной боковой стороне.$$h=\sqrt{30^2-24^2}=\sqrt{324}=18$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 38$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $C$ supplementary внешнему углу:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Так как $AB = BC$, треугольник равнобедренный, поэтому $\angle A = \angle C = 30^\circ$. Тогда:$$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Синус угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 6\sqrt{11}$, диагональ $BD = 2$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Поэтому $AO = \dfrac{AC}{2} = 3\sqrt{11}$, а $BO = \dfrac{BD}{2} = 1$.$$AO=3\sqrt{11},\quad BO=1$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём сторону ромба $AB$:$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{(3\sqrt{11})^2+1^2}=\sqrt{100}=10$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 17. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, $AM=MC$. Так как $BM$ — биссектриса, по теореме о биссектрисе $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MC}=1$, значит, $AB=BC$.
2. 2
   Медиана $BM$ делит угол $B=120^\circ$ пополам, поэтому $\angle ABM=60^\circ$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 6$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен 8. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Отрезок $MN$ — средняя желі треугольника, поэтому основание $AC$ в два раза больше него.$$AC = 2MN = 2 \cdot 8 = 16$$
2. 2
   Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам и перпендикулярна ему.$$AK = \dfrac{AC}{2} = 8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 25$, $AC = 14$. Найдите $BD$.

1. 1
   Так как диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, данный параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, применяем теорему Пифагора:$$AB^2 = \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 4$, $BC = 2$, а её площадь равна 90. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Диагональ $AC$ делит трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$. Их высоты, проведённые к основаниям $BC$ и $AD$, равны.
2. 2
   Поэтому площади треугольников относятся как длины оснований:$$\frac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 40$, $AC = 150$.

1. 1
   Медиана делит сторону $AC$ пополам, поэтому$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{150}{2} = 75$$
2. 2
   Так как $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора:$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 75^2 + 40^2 = 5625 + 1600 = 7225$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 100$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой основания $AC$:$$AM = MC = \frac{AC}{2} = 50$$
2. 2
   Обозначим $AH = x$. Тогда $HM = x - 50$, а $HC = 100 - x$. В прямоугольных треугольниках $BHM$ и $BHC$ по теореме Пифагора:$$BM^2 = BH^2 + (x - 50)^2, \quad BC^2 = BH^2 + (100 - x)^2$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 47$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Поэтому все его стороны равны.
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны, значит $\angle A = \angle C$. Из условия получаем:$$\angle A + \angle C = 120^\circ,\quad 2\angle A = 120^\circ,\quad \angle A = 60^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Периметр параллелограмма

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 72 и 30. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны $36$ и $15$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника равен 8, одна из средних линий равна 3. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому второй катет равен$$b = 2 \cdot 3 = 6$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$

Ширина экрана телевизора

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 74 см, а высота экрана — 24 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Ширина, высота и диагональ экрана образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$w^2+24^2=74^2$$
2. 2
   Выразим ширину экрана и вычислим её значение:$$w=\sqrt{74^2-24^2}=\sqrt{5476-576}=\sqrt{4900}=70$$

Тангенс угла в прямоугольнике

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $48$, сторона $BC = 8$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Из формулы площади прямоугольника найдём его высоту:$$AB = \dfrac{S}{BC} = \dfrac{48}{8} = 6$$
2. 2
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = 6$, а $AD = BC = 8$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 8$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен 15. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому является средней линией треугольника и равен половине основания $AC$.$$AC = 2MN = 2 \cdot 15 = 30$$
2. 2
   Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам.$$AK = \dfrac{AC}{2} = 15$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Периметр ромба по диагоналям

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 22 и 120. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, — это ромб.
2. 2
   Диагонали ромба делятся пополам, поэтому их половины равны 11 и 60. Половины диагоналей перпендикулярны и образуют со стороной ромба прямоугольный треугольник.$$a=\sqrt{11^2+60^2}=\sqrt{3721}=61$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 8$, $BC = 7$, а её площадь равна 45. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Обозначим высоту трапеции через $h$. По формуле площади трапеции:$$45=\dfrac{(8+7)h}{2}$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции:$$h=\dfrac{2\cdot45}{15}=6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде