521ФИПИ A5A60B№ 8Повышенная В жилых домах, в которых больше 4 этажей, установлен лифт. Выберите все утверждения, которые верны при приведённом условии.
- 1
По условию лифт установлен в каждом доме, где этажей больше 4.
- 2
Утверждение 4 верно: если этажей больше 8, то их заведомо больше 4, следовательно, в доме есть лифт.$$8 > 4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
522ФИПИ A88B1F№ 8Повышенная Кондитер испёк 40 печений, из них 10 печений он посыпал корицей, а 20 печений посыпал сахаром. Одно печенье может быть посыпано и корицей, и сахаром, а может вообще ничем не посыпаться.
- 1
Пусть пересечение групп печений, посыпанных сахаром и корицей, содержит $x$ печений. Поскольку корицей посыпаны 10 печений, $x \leq 10$.$$x \leq 10$$
- 2
Следовательно, утверждение 3 верно. Утверждение 1 неверно, так как 20 печений с обеими посыпками быть не может.
Ещё 2 шага — в полном решении
523ФИПИ AB2F6E№ 8Повышенная В 9 «Б» классе география по расписанию по средам и пятницам. Каждый ученик должен приносить атлас только на каждый урок географии. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Уроки географии проходят по средам и пятницам, поэтому атлас нужно приносить именно в эти дни.
- 2
Утверждение 1 неверно: атлас берут не только в пятницу, но и в среду.
Ещё 3 шага — в полном решении
524ФИПИ AE4D33№ 8Повышенная Некоторые учащиеся школы съели за завтраком ватрушку с творогом. Некоторые учащиеся этой школы на обед получат рогалик, причём среди них не будет тех, кто съел за завтраком ватрушку. Выберите все…
- 1
Пусть первая группа состоит из учащихся, съевших ватрушку, а вторая — из учащихся, получающих рогалик. По условию среди получающих рогалик нет тех, кто съел ватрушку, поэтому группы не пересекаются.$$A \cap B = \varnothing$$
- 2
Утверждение 2 прямо выражает отсутствие пересечения групп, поэтому оно верно.
Ещё 2 шага — в полном решении
525ФИПИ B13A24№ 8Повышенная Некоторые учащиеся школы съели за завтраком булочку. Некоторые учащиеся этой школы на обед получат пирожок, причём среди них не будет тех, кто съел за завтраком булочку. Выберите все утверждения…
- 1
Обозначим через $A$ множество учащихся, съевших булочку, а через $B$ — множество учащихся, которые получат пирожок. По условию множества $A$ и $B$ непусты и не пересекаются.$$A \ne \varnothing,\quad B \ne \varnothing,\quad A \cap B = \varnothing$$
- 2
Так как множества не пересекаются, ни один учащийся, съевший булочку, не получит пирожок. Утверждение 1 верно.
Ещё 2 шага — в полном решении
526ФИПИ B38EB0№ 8Повышенная В фирме работает 40 сотрудников, из них 30 человек знают английский язык, а 20 — немецкий. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим через $A$ множество сотрудников, знающих английский язык, а через $B$ — множество сотрудников, знающих немецкий язык. Всего сотрудников 40.
- 2
Минимальное возможное число сотрудников, знающих оба языка, равно разности суммы количеств знающих языки и общего числа сотрудников:$$|A \cap B| \geq 30+20-40=10$$
Ещё 3 шага — в полном решении
527ФИПИ B4C6AE№ 8Повышенная В зоомагазине в один из аквариумов запустили 30 рыбок. Длина каждой рыбки больше 2 см, но не превышает 8 см. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
По условию длина каждой рыбки больше $2$ см и не превышает $8$ см: $2 < l \leq 8$.
- 2
Утверждение 1 неверно, так как ни одна рыбка не может быть короче $2$ см.
Ещё 3 шага — в полном решении
528ФИПИ B7626F№ 8Повышенная В посёлке городского типа всего 17 жилых домов. Высота каждого дома меньше 25 метров, но не меньше 5 метров.
- 1
Из условия высота каждого жилого дома удовлетворяет неравенству:$$5 \leq h < 25$$
- 2
Утверждение 1 неверно: высота 25 метров запрещена условием $h < 25$.
Ещё 3 шага — в полном решении
529ФИПИ B8105E№ 8Повышенная Некоторые сотрудники фирмы летом 2025 года отдыхали на даче, а некоторые — на море. Все сотрудники, которые не отдыхали на море, отдыхали на даче. Выберите все утверждения, которые верны при…
- 1
Исходное условие означает: если сотрудник не отдыхал на море, то он отдыхал на даче.$$\neg M \Rightarrow D$$
- 2
По закону контрапозиции из этого следует: если сотрудник не отдыхал на даче, то он отдыхал на море.$$\neg D \Rightarrow M$$
Ещё 4 шага — в полном решении
530ФИПИ B9CB13№ 8Повышенная Совершая покупки, владелец дисконтной карты накапливает баллы. Когда сумма баллов достигает установленного лимита, он получает постоянную скидку. Определите, какие утверждения верны при приведённом…
- 1
По условию, когда сумма баллов достигает установленного лимита, владелец карты получает постоянную скидку. Поэтому наличие постоянной скидки означает, что лимит достигнут.
- 2
Если скидки нет, то условие её получения не выполнено: установленный лимит ещё не достигнут. Это верно и для владельца карты, у которого пока нет скидки.
Ещё 2 шага — в полном решении
531ФИПИ BA6CDF№ 8Повышенная На столе стоит 20 кружек с чаем. В шести из них чай с сахаром, а в остальных — без сахара. В четыре из этих 20 кружек официант положил по дольке лимона. Выберите все утверждения, которые верны при…
- 1
Кружек с чаем без сахара: $20 - 6 = 14$.
- 2
С лимоном могут быть не более 4 кружек. Поэтому кружек одновременно без сахара и без лимона будет не менее $14 - 4 = 10$. Значит, утверждение 1 верно.
Ещё 3 шага — в полном решении
532ФИПИ BAB44D№ 8Повышенная Некоторые сотрудники фирмы летом 2013 года отдыхали на даче, а некоторые — на море. Все сотрудники, которые не отдыхали на море, отдыхали на даче. Выберите все утверждения, которые верны при…
- 1
Обозначим через $D$ утверждение «сотрудник отдыхал на даче», а через $M$ — «сотрудник отдыхал на море». Исходное условие имеет вид $\neg M \Rightarrow D$.$$\neg M \Rightarrow D$$
- 2
По закону противопоставления из $\neg M \Rightarrow D$ следует $\neg D \Rightarrow M$. Поэтому утверждение 3 верно.$$\neg D \Rightarrow M$$
Ещё 2 шага — в полном решении
533ФИПИ BFF187№ 8Повышенная Кондитер испёк 40 печений: 10 штук посыпал корицей, а 20 штук — сахаром. Одно печенье может быть посыпано и корицей, и сахаром, а может быть не посыпано ничем. Выберите все утверждения, которые…
- 1
Обозначим через $C$ множество печений, посыпанных корицей, а через $S$ — множество печений, посыпанных сахаром. Тогда $|C|=10$, $|S|=20$.
- 2
Число печений, посыпанных одновременно сахаром и корицей, не может превышать количество печений в меньшей группе:$$|C \cap S| \leq \min(10,20)=10$$
Ещё 3 шага — в полном решении
534ФИПИ C16F78№ 8Повышенная В таблице даны результаты олимпиад по математике и обществознанию в 9 «А» классе. Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 150 или хотя бы по одному…
- 1
Выбираем учащихся, набравших меньше 80 баллов по математике: это ученики 1, 3, 4, 5, 6, 7 и 9.
- 2
Проверяем условие для ученика 1: сумма баллов равна 112, ни один балл не достигает 80. Грамота не положена.
Ещё 4 шага — в полном решении
535ФИПИ C46E7F№ 8Повышенная В фирме работает 50 сотрудников, из них 40 человек знают английский язык, а 20 — немецкий. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим через $A$ множество сотрудников, знающих английский язык, а через $B$ — немецкий. Тогда $|A| = 40$, $|B| = 20$, а $|A \cup B| \leq 50$.
- 2
Минимально возможное число сотрудников, знающих оба языка, равно$$|A \cap B| \geq 40 + 20 - 50 = 10$$
Ещё 4 шага — в полном решении
536ФИПИ C4C462№ 8Повышенная Повар испёк для вечеринки 45 кексов, из них 15 кексов он посыпал кокосовой стружкой, а 25 кексов посыпал сахарной пудрой. Повар может посыпать один кекс и кокосовой стружкой, и сахарной пудрой, а…
- 1
Пусть $A$ — множество кексов с кокосовой стружкой, а $B$ — множество кексов с сахарной пудрой. Тогда $|A|=15$, $|B|=25$, всего 45 кексов.$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$
- 2
Число кексов с обеими посыпками не может превышать число кексов с кокосовой стружкой: $|A \cap B| \leq 15$. Поэтому 16 таких кексов быть не может.$$|A \cap B| \leq \min(15,25)=15$$
Ещё 3 шага — в полном решении
537ФИПИ C52D83№ 8Повышенная Тане на день рождения подарили 15 шариков, 8 из которых жёлтые, а остальные зелёные. Таня на трёх случайных шариках нарисовала рисунки маркером, чтобы подарить маме, папе и брату. Выберите все…
- 1
Зелёных шариков $15 - 8 = 7$. Даже если все три рисунка нанесены на зелёные шарики, зелёных шариков без рисунков останется $7 - 3 = 4$, то есть найдутся 2 таких шарика.$$7 - 3 = 4 \geq 2$$
- 2
Рисунков всего 3, поэтому 5 жёлтых шариков с рисунками быть не может.$$3 < 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
538ФИПИ C69348№ 8Повышенная Когда какая-нибудь кошка идёт по забору, пёс Шарик, живущий в будке возле дома, обязательно лает. Выберите все утверждения, которые верны при приведённом условии.
- 1
Обозначим: $A$ — кошка идёт по забору, $B$ — Шарик лает. По условию верно $A \Rightarrow B$.
- 2
Утверждение 1 является противоположным по смыслу следствием: из $A \Rightarrow B$ следует $\neg B \Rightarrow \neg A$. Поэтому оно верно.
Ещё 3 шага — в полном решении
539ФИПИ C7103B№ 8Повышенная В таблице даны результаты олимпиад по русскому языку и биологии в 9 «А» классе. Похвальные грамоты дают школьникам, у которых суммарный балл по двум олимпиадам больше 140 или хотя бы по одному…
- 1
Рассмотрим учеников, набравших меньше 75 баллов по русскому языку: 1, 3, 6, 7 и 9.
- 2
Ученик 1 получает грамоту, так как сумма баллов больше 140: $70+92=162$.
Ещё 2 шага — в полном решении
540ФИПИ C76D32№ 8Повышенная В классе учится 28 человек, из них 20 человек посещают кружок по биологии, а 16 — кружок по географии.
- 1
Обозначим через $A$ множество учеников, посещающих кружок по биологии, а через $B$ — множество учеников, посещающих кружок по географии.
- 2
Минимальное возможное число учеников, посещающих оба кружка, найдём по формуле включений и исключений:$$|A \cap B| \geq |A| + |B| - 28 = 20 + 16 - 28 = 8$$
Ещё 3 шага — в полном решении