Задание 19 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Число, делящееся на цифры

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 800, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $816$: оно трёхзначное и больше $800$, а его цифры $8$, $1$ и $6$ различны и не равны нулю.
2. 2
   Проверим делимость числа на каждую свою цифру:$$816 : 8 = 102,\quad 816 : 1 = 816,\quad 816 : 6 = 136$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число по признакам делимости

Найдите натуральное число, большее 1000, но меньшее 1700, которое делится на 45 и сумма цифр которого равна 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как число делится на $45=5\cdot9$, оно должно делиться на $5$ и на $9$.
2. 2
   Число $1395$ находится в требуемом диапазоне: $1000<1395<1700$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 1359. Укажите какое-нибудь одно такое…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. После разворота получаем число $\overline{dcba}$. Поскольку оба числа четырёхзначные, последняя цифра исходного числа не может быть равна 0. Исходное число кратно 5, поэтому $d=5$.
2. 2
   Разность чисел выражается так:$$\overline{abcd}-\overline{dcba}=999(a-d)+90(b-c)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 5, и на 7 даёт в остатке 1, а цифры в его записи расположены в порядке убывания слева направо. Запишите какое-нибудь одно…

1. 1
   Если при делении числа на 3, 5 и 7 получается остаток 1, то число на 1 больше общего кратного этих чисел.$$n - 1 \vdots 3,\quad n - 1 \vdots 5,\quad n - 1 \vdots 7$$
2. 2
   Так как числа 3, 5 и 7 попарно взаимно просты, их произведение равно 105. Значит, искомое число имеет вид:$$n = 105k + 1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Удвоение четырёхзначного числа

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 1, 3, 6, 8, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 2, 3, 6, 7. Известно, что $B=2A$. Найдите число $A$. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число, большее…

1. 1
   Число $A$ должно быть составлено из цифр 1, 3, 6, 8 и быть больше 1500. Проверим подходящую перестановку цифр.
2. 2
   Удвоим число $1638$:$$2\cdot1638=3276$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пятизначное число кратное 18

Найдите пятизначное число, кратное 18, любые две соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 18, должно быть кратно 2 и 9. Значит, его последняя цифра должна быть чётной, а сумма цифр — кратной 9.
2. 2
   Подберём пятизначную последовательность цифр, в которой соседние цифры отличаются на 3: $6, 9, 6, 9, 6$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Среднее арифметическое отметок

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$2118 = 2 \cdot 3 \cdot 353$$
2. 2
   Числа, получившиеся при расстановке знаков умножения, должны быть составлены из пяти отметок — цифр от 2 до 5. Единственный подходящий вариант: $353 \cdot 2 \cdot 3 = 2118$. Поэтому отметки Пети: 3, 5, 3, 2, 3.$$3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 353 \cdot 2 \cdot 3 = 2118$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Итоговая отметка по произведению

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложение числа 13075 на множители позволяет восстановить пять подряд записанных отметок, между некоторыми из которых стоят знаки умножения.
2. 2
   Для найденных пяти отметок вычисляется среднее арифметическое: сумма отметок делится на 5.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Поиск числа по условиям

Найдите трёхзначное натуральное число, меньшее 500, которое при делении и на 8, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и последняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других…

1. 1
   Рассмотрим число $201$. Оно является трёхзначным и меньше 500.
2. 2
   При делении на 8 число $201$ даёт остаток $1$: $201 = 8 \cdot 25 + 1$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Удаление цифр и делимость

Вычеркните в числе $78764138$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $12$. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   После вычёркивания трёх цифр должно остаться пятизначное число, составленное в том же порядке из цифр числа $78764138$.
2. 2
   Для делимости на $12$ число должно делиться на $3$ и на $4$. Оставим цифры $7$, $8$, $6$, $4$, $8$, вычеркнув вторую цифру $7$, цифру $1$ и цифру $3$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 25

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 25, все цифры которого различны и нечётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число кратно 25, если его последние две цифры образуют одно из чисел 00, 25, 50 или 75.
2. 2
   Все цифры должны быть нечётными, поэтому подходят окончания 25 или 75.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного натурального числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 1629. Укажите какое-нибудь…

1. 1
   Обозначим цифры исходного числа через $a$, $b$, $c$, $d$. Исходное число равно $1000a+100b+10c+d$, а записанное наоборот — $1000d+100c+10b+a$.$$N=1000a+100b+10c+d$$
2. 2
   Число кратно 5, а после перестановки цифр получается четырёхзначное число, поэтому последняя цифра исходного числа должна быть $d=5$.$$d=5$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Отметки и разложение произведения

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$4707 = 3 \cdot 1569 = 3 \cdot 3 \cdot 523$$
2. 2
   Число 523 состоит из трёх допустимых отметок, записанных подряд: 5, 2 и 3. Поэтому все пять отметок: 3, 3, 5, 2, 3.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сумма делителей числа 130

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1 + 1)(p_2 + 1)(p_3 + 1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $130$ представлено как произведение трёх различных простых чисел: $2$, $5$ и $13$.$$130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению увеличенных на единицу простых множителей.$$(2 + 1)(5 + 1)(13 + 1) = 3 \cdot 6 \cdot 14 = 252$$

Четырёхзначное число и куб

Найдите четырёхзначное число, которое в 11 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Искомое число должно иметь вид $\dfrac{n^3}{11}$, где $n$ — натуральное число.
2. 2
   Возьмём натуральное число $n = 33$. Его куб равен:$$33^3 = 35937$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Удаление цифр из числа

Вычеркните в числе 84164718 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Так как $12 = 3 \cdot 4$, получившееся число должно делиться и на 3, и на 4.$$84648 = 8\,4\,6\,4\,8$$
2. 2
   Вычёркиваем из числа 84164718 цифры 1, 7 и 1. Остаётся число 84648.

Ещё 2 шага — в полном решении

Число, делящееся на цифры

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 2200, но меньшее 3000, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю.

1. 1
   Так как число больше $2200$ и меньше $3000$, его первая цифра равна $2$. Рассмотрим число $2364$: все его цифры различны и не равны нулю.$$2364>2200,\quad 2364<3000$$
2. 2
   Проверим делимость числа на каждую его цифру.$$2364=2\cdot1182=3\cdot788=6\cdot394=4\cdot591$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число без нулей

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого на 1 больше их произведения и в записи которого отсутствуют нули. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $1312$. В нём четыре цифры, и ни одна из них не равна нулю.
2. 2
   Сумма цифр числа равна $1+3+1+2=7$, а произведение цифр равно $1\cdot3\cdot1\cdot2=6$. Сумма на $1$ больше произведения.$$7=6+1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма делится на 20

На шести карточках написаны цифры 3, 6, 7, 7, 8, 9 — по одной цифре на каждой карточке. В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ вместо каждого квадратика положили карточку из…

1. 1
   Нужно составить сумму из однозначного, двузначного и трёхзначного чисел, используя все цифры $3, 6, 7, 7, 8, 9$ ровно по одному разу.
2. 2
   Подберём расположение карточек, при котором сумма будет оканчиваться на 0 и делиться на 20:$$3 + 78 + 679 = 760$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим число на множители:$$8825 = 25 \cdot 353$$
2. 2
   Так как записано пять оценок, множители должны состоять всего из пяти цифр. Подходящее разбиение на группы — $25$ и $353$, поэтому оценки имеют вид $2, 5, 3, 5, 3$.$$25 \cdot 353 = 8825$$

Ещё 2 шага — в полном решении