В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $163^\circ$. Найдите угол $C$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 163^\circ = 17^\circ$$
- 2
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны.$$\angle A = \angle B = 17^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 8$, $AC = 2\sqrt{15}$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - (2\sqrt{15})^2} = \sqrt{64 - 60} = 2$$
- 2
Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$, а гипотенуза — $AB$.$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{8} = 0{,}25$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна $45$. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{15}{8}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{15}{8} = \dfrac{45}{AC},\quad AC = \dfrac{45 \cdot 8}{15}=24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 30$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренний угол треугольника supplementary внешнему углу, поэтому углы при вершинах $A$ и $C$ равны:$$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Тогда угол при вершине $B$ равен:$$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 166^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим $\vec{AC}=\vec{w}$ и $\vec{AB}=\vec{u}$. По условию $|\vec{w}|=2|\vec{u}|$, а угол между этими векторами равен $166^\circ$.$$|\vec{w}|=2|\vec{u}|,\quad \angle(\vec{u},\vec{w})=166^\circ$$
- 2
Так как $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$, то $\vec{AD}=\vec{w}-\vec{u}$. Поэтому вектор второй диагонали можно записать так:$$\vec{BD}=\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{w}-2\vec{u}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 21$. Найдите $BD$.
- 1
Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
- 2
Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам, а треугольник с гипотенузой $AB$ имеет угол $30^\circ$.$$\frac{BD}{2} = AB \cdot \sin 30^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 7$, боковая сторона $BC = 25$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2}$$
- 2
Найдём половину основания:$$KC = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 73$. $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{73}{2} = 36{,}5$$
- 2
Обозначим $AH = x$. Тогда $HC = 73 - x$, а $MH = x - 36{,}5$. По теореме Пифагора:$$BC^2 = BH^2 + (73-x)^2,\quad BM^2 = BH^2 + (x-36{,}5)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 49^\circ$ и $\angle BDC = 31^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$, трапеция $ABCD$ является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC$$
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому:$$\angle ADC = 49^\circ + 31^\circ = 80^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 40^\circ$ и $\angle BDC = 30^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как в трапеции боковые стороны равны: $AB = CD$, трапеция является равнобедренной.
- 2
Угол при вершине $D$ разделён диагональю $DB$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому$$\angle CDA = \angle BDA + \angle BDC = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 10$, боковая сторона $BC = 26$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана $BK$ к основанию $AC$ является также высотой, поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$BK \perp AC$$
- 2
По теореме Пифагора найдём половину основания:$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{576} = 24$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания трапеции равны 9 и 19, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 8\sin 150^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$
- 2
Вычислим площадь трапеции по формуле через основания и высоту.$$S = \frac{9+19}{2}\cdot 4 = 14\cdot 4 = 56$$
На окружности радиуса 11 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 11$. Найдите $\sin \angle ABC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2 \cdot 11 = 22$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{4}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 4. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол $A$. Поэтому отношение их площадей равно отношению произведений двух сторон, заключающих этот угол.$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{AK \cdot AM}{AB \cdot AC}$$
- 2
Точка $M$ — середина стороны $AC$, так как $BM$ — медиана. Следовательно, $AM = \dfrac{1}{2}AC$, а $AK = \dfrac{1}{4}AB$.$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 7 и 15, боковая сторона, равная 12, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции — это перпендикулярная составляющая боковой стороны.$$h=12\sin150^\circ=12\cdot\frac{1}{2}=6$$
- 2
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S=\frac{7+15}{2}\cdot6=11\cdot6=66$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 8$, боковая сторона $BC = 17$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, медиана $BK$ к основанию $AC$ является также высотой. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2}$$
- 2
Найдём половину основания:$$KC = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 20$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, поэтому применяем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{20}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 10$, медиана $BM = \sqrt{51}$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM \perp BM$$
- 2
По теореме Пифагора найдём длину $AM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{51})^2} = \sqrt{49} = 7$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 39$. Найдите $BD$.
- 1
В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle A = \angle C = 60^\circ$.
- 2
Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны.
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $25$. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, поэтому выразим гипотенузу $AB$ через прилежащий катет $BK$.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении