Катет прямоугольного треугольника равен 40, одна из средних линий равна 4,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому соответствующий катет равен:$$b = 2 \cdot 4{,}5 = 9$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41$$
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна 24, $\tg \angle CAD = \frac{3}{4}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 24$.$$AD = 24$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{3}{4}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В угол с вершиной $C$, равный $128^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.$$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $ACOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB=360^\circ-128^\circ-90^\circ-90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 102^\circ$. Найдите угол $DMB$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Углы $CMA$ и $CMB$ — смежные, так как лучи $MA$ и $MB$ противоположны.$$\angle CMB = 180^\circ - \angle CMA$$
- 2
Найдём величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 24$, $AC = BD = 25$. Найдите площадь параллелограмма.
- 1
Диагонали параллелограмма равны, поэтому данный параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
- 2
Обозначим вторую сторону прямоугольника через $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Стороны параллелограмма равны 10 и 15. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 12. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.
- 1
Площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту равна:$$S = 10 \cdot 12 = 120$$
- 2
Та же площадь через большую сторону и искомую высоту:$$S = 15h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В угол с вершиной $C$, равный $62^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поскольку $A$ и $B$ — точки касания.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 62^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 21. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, $AM=MC$. Поскольку $BM$ — биссектриса, по теореме о биссектрисе $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MC}=1$, поэтому $AB=BC$.
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой. Угол $ABM$ равен половине угла $B$: $\angle ABM=60^\circ$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На окружности радиусом 3 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 3\sqrt{3}$. Найдите длину хорды $BC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности равен двум радиусам:$$AB = 2R = 2 \cdot 3 = 6$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 48$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 7. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$ является медианой основания $AC$.$$AK = KC = \dfrac{AC}{2} = 24$$
- 2
По теореме Пифагора найдём боковую сторону $AB$:$$AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В угол с вершиной $C$, равный $65^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OA\perp CA$ и $OB\perp CB$.$$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB=360^\circ-65^\circ-90^\circ-90^\circ=115^\circ$$
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 27$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ являются противоположными. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Радиусы $OA$ и $OC$ равны. Обозначим радиус окружности через $R$ и применим теорему косинусов к треугольнику $AOC$.$$AC^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos 60^\circ = R^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 75$, $\sin A = \dfrac{24}{25}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам. Обозначим половину основания через $x$, а высоту через $h$.$$x = AB\cos A, \quad h = AB\sin A$$
- 2
Вычислим косинус угла $A$:$$\cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2} = \frac{7}{25}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 23$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Так как треугольник прямоугольный, угол $C = 90^\circ$, поэтому угол $B$ равен $30^\circ$.$$B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 22$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Поэтому применяем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{22}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \frac{1}{5}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 5. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, поэтому $AM = \frac{1}{2}AC$.
- 2
Точка $K$ расположена на стороне $AB$, причём $AK = \frac{1}{5}AB$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 18$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 16$, $\sin A = 0{,}25$. Найдите длину отрезка $BH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABC$ синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём длину гипотенузы $AB$.$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{16}{0{,}25} = 64$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Обе диагонали параллелограмма равны 17. Одна из сторон параллелограмма равна 8. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
- 2
Диагональ прямоугольника, его сторона 8 и неизвестная сторона образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$x^2 + 8^2 = 17^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{2}{9}$ длины окружности. Жауап дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\dfrac{2}{9}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{2}{9} = 80^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального:$$\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$$