Значение арифметического выражения $2 \cdot 243^{16} - 81^{17} + 27^{18} - 21$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?
- 1
Представим основания степеней как степени тройки:$$243=3^5,\quad 81=3^4,\quad 27=3^3$$
- 2
Преобразуем выражение:$$2\cdot243^{16}-81^{17}+27^{18}-21=2\cdot3^{80}-3^{68}+3^{54}-21$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 22. $81x9985_{22} + 36x51_{22} + 72x5_{22}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита…
- 1
Переведём каждое слагаемое из 22-ричной системы счисления в десятичную, сохраняя неизвестную цифру $x$:$$81x9985_{22}=8\cdot22^6+1\cdot22^5+x\cdot22^4+9\cdot22^3+9\cdot22^2+8\cdot22+5$$
- 2
После раскрытия всех разрядов получаем линейное выражение:$$81x9985_{22}+36x51_{22}+72x5_{22}=913135509+234762x$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $9^{28} \times 3^{10} - 3^8 - 81$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?
- 1
Преобразуем выражение к степеням числа 3:$$9^{28} \times 3^{10} - 3^8 - 81 = 3^{56} \times 3^{10} - 3^8 - 3^4 = 3^{66} - 3^8 - 3^4$$
- 2
В троичной записи числа $3^{66} - 3^8 - 3^4$ после заимствований цифры 2 находятся в разрядах с номерами $4,5,6,7$ и $9,10,\ldots,65$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Вычислите сумму чисел $x$ и $y$, при $x = \mathrm{B4}_{16}$, $y = 46_8$. Результат представьте в двоичной системе счисления.
- 1
Переведём число $\mathrm{B4}_{16}$ из шестнадцатеричной системы в десятичную. Цифра $\mathrm{B}$ соответствует числу 11.$$\mathrm{B4}_{16} = 11 \cdot 16 + 4 = 180_{10}$$
- 2
Переведём число $46_8$ из восьмеричной системы в десятичную.$$46_8 = 4 \cdot 8 + 6 = 38_{10}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19. $98897x21_{19}+2x923_{19}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы…
- 1
При делении на 18 основание 19 можно заменить на 1, поскольку $19 \equiv 1 \pmod{18}$. Поэтому остаток выражения определяется суммой всех его цифр.$$9+8+8+9+7+x+2+1+2+x+9+2+3=60+2x$$
- 2
Требуем делимость на 18: $60+2x \equiv 0 \pmod{18}$. Из допустимых цифр 19-ричной системы наибольшее подходящее значение — $x=15$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $5 \cdot 216^9 - 36^{10} + 4 \cdot 6^{11} - 8$ записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр 5 содержится в этой записи?
- 1
Перепишем числа $216$ и $36$ в виде степеней основания 6:$$216 = 6^3,\quad 36 = 6^2$$
- 2
Преобразуем выражение:$$5 \cdot 216^9 - 36^{10} + 4 \cdot 6^{11} - 8 = 5 \cdot 6^{27} - 6^{20} + 4 \cdot 6^{11} - 8$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $9^{30} + 3^{90} - 9$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?
- 1
Перепишем выражение в степенях числа $3$:$$9^{30} + 3^{90} - 9 = 3^{60} + 3^{90} - 3^2$$
- 2
В троичной записи числа $3^{90} + 3^{60}$ стоят единицы в разрядах $90$ и $60$, а остальные разряды равны нулю.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $49^8 + 7^{24} - 49$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?
- 1
Представим число 49 как степень основания 7:$$49 = 7^2$$
- 2
Преобразуем выражение:$$49^8 + 7^{24} - 49 = (7^2)^8 + 7^{24} - 7^2 = 7^{16} + 7^{24} - 7^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $49^6 + 7^{18} - 49$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?
- 1
Преобразуем выражение, представив числа как степени основания 7.$$49^6 + 7^{18} - 49 = 7^{12} + 7^{18} - 7^2$$
- 2
В записи числа $7^{18} + 7^{12}$ в системе счисления с основанием 7 единицы стоят в разрядах $18$ и $12$. Вычитание $7^2$ вызывает заимствование из разряда $12$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 29. $923x874_{29} + 524x6152_{29}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 29-ричной…
- 1
Так как $29 \equiv 1 \pmod{28}$, остаток числа, записанного в 29-ричной системе, равен остатку суммы его цифр.
- 2
Сумма цифр всех слагаемых выражения равна $58+2x$.$$58+2x \equiv 0 \pmod{28}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается в виде 101. Укажите это основание.
- 1
Запишем число $101$ в развёрнутом виде в системе счисления с основанием $p$.$$101_p = 1 \cdot p^2 + 0 \cdot p + 1 = p^2 + 1$$
- 2
Приравняем полученное выражение к числу 17 и найдём основание.$$p^2 + 1 = 17 \Rightarrow p^2 = 16 \Rightarrow p = 4$$
Значение арифметического выражения записали в системе счисления с основанием 8. Определите количество цифр 7 в записи этого числа.
- 1
Для решения нужно знать само арифметическое выражение, значение которого требуется записать в восьмеричной системе счисления.
- 2
В предоставленном тексте и на изображении выражение отсутствует, поэтому перевести число в восьмеричную систему и подсчитать цифры 7 невозможно.
Сколько единиц содержится в двоичной жазбалар значения выражения $4^{16} + 2^{36} - 8$?
- 1
Преобразуем степень числа 4 в степень двойки:$$4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$$
- 2
Исходное выражение принимает вид:$$2^{32} + 2^{36} - 2^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Вычислите сумму чисел $x$ и $y$, если $x = \mathrm{A7}_{16}$, $y = 56_8$. Результат представьте в двоичной системе счисления.
- 1
Переведём число $x$ из шестнадцатеричной системы в десятичную. Цифра $\mathrm{A}$ соответствует числу 10.$$x = 10 \cdot 16 + 7 = 167$$
- 2
Переведём число $y$ из восьмеричной системы в десятичную.$$y = 5 \cdot 8 + 6 = 46$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $16^{11} \times 4^{20} - 4^5 - 16$ записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр 3 содержится в этой записи?
- 1
Перепишем выражение как степень числа 4:$$16^{11} \times 4^{20} - 4^5 - 16 = 4^{22} \times 4^{20} - 4^5 - 4^2 = 4^{42} - 4^5 - 4^2$$
- 2
В четверичной записи числа $4^{42}$ стоит единица в разряде $42$ и нули в остальных разрядах. Вычитание $4^5$ даёт цифры 3 в разрядах от 6 до 41 включительно: всего $41 - 6 + 1 = 36$ цифр.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $9^{19} + 3^{57} - 9$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
- 1
Перепишем выражение через степени числа $3$:$$9^{19}+3^{57}-9=3^{38}+3^{57}-3^2$$
- 2
Вынесем $3^2$ за скобки:$$3^{38}+3^{57}-3^2=3^2(3^{36}+3^{55}-1)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $9 \cdot 11^{350} + 8 \cdot 11^{150} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $3000$, записали в $11$-ричной системе счисления. Определите…
- 1
Без вычитания $x$ число имеет в $11$-ричной системе цифры $9$ в разряде $350$, $8$ в разряде $150$ и нули в остальных разрядах.
- 2
При вычитании положительного $x$ происходит заимствование из разряда $150$. Поэтому разряды с $151$ по $349$ дают $199$ нулей, а в младших $150$ разрядах количество нулей совпадает с количеством цифр $10$ в записи числа $x-1$ в системе…
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $4 \cdot 125^{32} - 3 \cdot 25^{25} + 4 \cdot 5^{13} - 14$ записали в системе счисления с основанием $5$. Сколько цифр $4$ содержится в этой записи?
- 1
Переведём основания степеней к основанию $5$:$$125^{32}=(5^3)^{32}=5^{96},\quad 25^{25}=(5^2)^{25}=5^{50}$$
- 2
Выражение принимает вид:$$N=4\cdot5^{96}-3\cdot5^{50}+4\cdot5^{13}-14$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $7 \cdot 512^{120} - 6 \cdot 64^{100} + 8^{210} - 255$ записали в системе счисления с основанием $8$. Сколько цифр $0$ содержится в этой записи?
- 1
Выразим числа $512$ и $64$ через степени основания $8$.$$512=8^3,\quad 64=8^2$$
- 2
Преобразуем первые два слагаемых.$$7\cdot512^{120}=7\cdot8^{360},\quad 6\cdot64^{100}=6\cdot8^{200}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $5 \cdot 216^{20} - 4 \cdot 36^{10} + 6^{25} - 43$ записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр 5 содержится в этой записи?
- 1
Заменим числа $216$ и $36$ степенями основания $6$.$$216^{20}=(6^3)^{20}=6^{60},\quad 36^{10}=(6^2)^{10}=6^{20}$$
- 2
Преобразуем выражение.$$N=5\cdot 6^{60}+6^{25}-4\cdot 6^{20}-43$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде