В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{5}{9}$, $BC = 27$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{5}{9} = \dfrac{AC}{27},\quad AC = 27 \cdot \dfrac{5}{9} = 15$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 82^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$, поэтому треугольник $ABH$ прямоугольный.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Точка $H$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $BAH$ равен углу $BAC$.$$\angle BAH = 82^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 18$, $BM$ — медиана, $BM = 14$. Найдите $AM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
- 2
Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины стороны $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$$
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если известны две указанные в условии угловые величины.
- 1
Биссектриса делит соответствующий угол треугольника на два равных угла.
- 2
Используем сумму углов треугольника $180^\circ$ и данные условия. После подстановки получаем искомый угол.$$\angle = 135^\circ$$
Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой.$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны и упростим выражение:$$h=\dfrac{12\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{12\cdot3}{2}=18$$
Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны и упростим выражение.$$h = \dfrac{14\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{14\cdot 3}{2} = 21$$
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 8 и 17 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
Обозначим неизвестный катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 8^2 = 17^2$$
- 2
Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике два угла равны $72^\circ$ и $42^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Найдём третий угол.$$\gamma = 180^\circ - 72^\circ - 42^\circ = 66^\circ$$
Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим данные значения.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 22 = 198$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$, $AC = 20$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения:$$\tg B = \dfrac{20}{5} = 4$$
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру указанного угла, если известны два угла, образованные биссектрисой и сторонами треугольника.
- 1
Биссектриса делит угол треугольника на два равных угла. По данным задачи восстанавливаем величину полного угла, разделённого биссектрисой.
- 2
Используем свойство суммы углов треугольника:$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{7}{12}$, $AB = 48$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом, противолежащим углу $B$.$$\sin B = \frac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$AC = AB \cdot \sin B = 48 \cdot \frac{7}{12} = 28$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 14$, $AB = 50$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — сторона $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и вычислим.$$\cos B = \dfrac{14}{50} = 0{,}28$$
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
Обозначим неизвестный катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 40^2 = 50^2$$
- 2
Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2 = 50^2 - 40^2 = 2500 - 1600 = 900$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике биссектриса является также высотой.$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника.$$h=\dfrac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{30}{2}=15$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Сторона $AB$ равна 24, сторона $BC$ равна 13, сторона $AC$ равна 26. Найдите $MN$.
- 1
Отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон треугольника, поэтому является его средней линией.$$MN \parallel AC$$
- 2
По свойству средней линии треугольника её длина равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов.$$S = \dfrac{ab}{2}$$
- 2
Подставим значения катетов:$$S = \dfrac{7 \cdot 12}{2} = 42$$
Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 31 = 4 \cdot 31 = 124$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $AC = 7$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$.
- 2
Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$, прилежащий катет — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Высота равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
Высота равностороннего треугольника связана со стороной формулой:$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим известное значение высоты:$$11\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении