В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 9$, $AB = 25$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Сторона $AC$ расположена напротив угла $B$.
- 2
Используем определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $26^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
- 2
Вычтем из $90^\circ$ известный острый угол:$$\beta = 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $168^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha_{\text{внешн.}} + 168^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$\alpha_{\text{внешн.}} = 180^\circ - 168^\circ = 12^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 3$, $AB = 5$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, гипотенуза треугольника — сторона $AB$. Катет, прилежащий к углу $B$, — сторона $BC$.$$AB = 5,\quad BC = 3$$
- 2
Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0.6$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 16$, $BM$ — медиана, $BM = 12$. Найдите $AM$.
- 1
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.$$AM = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Подставим известную длину стороны $AC$.$$AM = \dfrac{16}{2} = 8$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{4}{11}$, $AB = 55$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ — гипотенуза. Для угла $B$ противолежащая сторона — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину стороны $AC$.$$AC = AB \cdot \sin B = 55 \cdot \dfrac{4}{11} = 20$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 14$, $AB = 20$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — катетом, прилежащим к углу $B$.$$AB = 20,\quad BC = 14$$
- 2
Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $159^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 159^\circ = 180^\circ$$
- 2
Найдём внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 159^\circ = 21^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 6$, $AB = 20$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащая сторона — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и вычислим:$$\sin B = \dfrac{6}{20} = 0{,}3$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{11}{8}$, $BC = 24$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{11}{8} = \dfrac{AC}{24},\quad AC = 24 \cdot \dfrac{11}{8} = 33$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 64^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BH$ — высота треугольника $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Поэтому $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Точка $H$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $BAH$ равен углу $BAC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 64^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 11$, $AB = 20$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$.$$AB = 20,\quad AC = 11$$
- 2
По определению синуса острого угла:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{11}{20} = 0{,}55$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 7. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим значения катетов.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 21$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{4}{9}$, $AB = 18$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащий катет — это $AC$.$$\sin B = \frac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\frac{4}{9} = \frac{AC}{18},\quad AC = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим значения катетов $a = 4$ и $b = 10$.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20$$
В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру угла, если и.
- 1
Используем свойство медианы и связь между углами треугольника, указанными в условии.
- 2
Подставляем данные из условия и вычисляем градусную меру искомого угла.$$\angle = 19^\circ$$
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине $A$, если $\angle ABD = 39^\circ$ и $\angle C = 63^\circ$.
- 1
Так как $BD$ — биссектриса угла $B$, весь угол $B$ равен удвоенному углу $ABD$.$$\angle B=2\cdot39^\circ=78^\circ$$
- 2
Внешний угол при вершине $A$ равен сумме внутренних углов $B$ и $C$.$$\angle A_{\text{внешн.}}=78^\circ+63^\circ=141^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 3$, $AC = 18$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами.
- 2
Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а катет $BC$ — прилежащий. Поэтому$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона квадрата равна $24\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Диаметр описанной около квадрата окружности равен диагонали квадрата.$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Найдём диагональ квадрата со стороной $24\sqrt{2}$:$$d=24\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 10$, $BC = 14$, $CD = 22$. Найдите $AD$.
- 1
У описанного около окружности четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Выразим длину стороны $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 10 + 22 - 14 = 18$$