В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру указанного угла, если два других угла равны $42^\circ$ и $105^\circ$.
- 1
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Медиана не влияет на сумму углов.$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$
- 2
Находим третий угол:$$180^\circ-42^\circ-105^\circ=33^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{11}{15}$, $AB = 75$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Выразим длину катета $BC$ и подставим известные значения.$$BC = AB \cdot \cos B = 75 \cdot \dfrac{11}{15} = 55$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{3}{5}$, $BC = 30$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{3}{5} = \dfrac{AC}{30}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
Обозначим искомый катет через $x$. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.$$x^2 + 40^2 = 41^2$$
- 2
Найдём квадрат искомого катета.$$x^2 = 41^2 - 40^2 = 1681 - 1600 = 81$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Обозначим гипотенузу через $c$. По теореме Пифагора:$$c^2 = 8^2 + 15^2$$
- 2
Вычислим сумму квадратов катетов:$$c^2 = 64 + 225 = 289$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 15$, $BC = 8$, $\sin \angle ABC = \dfrac{5}{6}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Стороны $AB$ и $BC$ образуют угол $\angle ABC$, поэтому площадь найдём по формуле через две стороны и синус угла между ними.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения и вычислим площадь.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \cdot \dfrac{5}{6} = 50$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 32$, $BM$ — медиана, $BM = 23$. Найдите $AM$.
- 1
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Подставим известную длину стороны $AC$.$$AM = \dfrac{32}{2} = 16$$
Биссектриса равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике биссектриса является также высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим известную длину биссектрисы и выразим сторону треугольника.$$a = \dfrac{2h}{\sqrt{3}} = \dfrac{2 \cdot 11\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 22$$
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Используем формулу площади треугольника через сторону и высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим значения стороны и высоты:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot 19 = 8 \cdot 19 = 152$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 7^2 + 24^2$$
- 2
Вычислим длину гипотенузы:$$c = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Обозначим гипотенузу через $c$. По теореме Пифагора:$$c^2 = 12^2 + 5^2$$
- 2
Находим значение гипотенузы:$$c = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $177^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha_{\text{внешн.}} + 177^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$\alpha_{\text{внешн.}} = 180^\circ - 177^\circ = 3^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 14$, $BC = 5$, $\sin \angle ABC = \dfrac{6}{7}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 5 \cdot \dfrac{6}{7} = 30$$
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим значения стороны и высоты:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 31 = 7 \cdot 31 = 217$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 64^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$, $BC = 15$, $\sin \angle ABC = \dfrac{4}{9}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 \cdot \dfrac{4}{9} = 40$$
Биссектриса равностороннего треугольника равна $13\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
Биссектриса равностороннего треугольника является его высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим известную длину биссектрисы и найдём сторону треугольника.$$13\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 126^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Используем сумму углов треугольника и обозначим каждый угол при основании через $x$.$$x + x + 126^\circ = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Сторона $AB$ равна 48, сторона $BC$ равна 57, сторона $AC$ равна 72. Найдите $MN$.
- 1
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, поэтому отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{72}{2} = 36$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 30$, $AB = 40$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — катетом, прилежащим к углу $B$.$$AB = 40,\quad BC = 30$$
- 2
Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$$