ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Шеңбер және іштей сызылған фигуралар» — жауаптарымен

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $132^\circ$, угол $CAD$ равен $80^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме равны $180^\circ$.$$\angle ADC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-132^\circ=48^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол.$$\angle ACD=180^\circ-\angle CAD-\angle ADC=180^\circ-80^\circ-48^\circ=52^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол трапеции в окружности

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $54^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Основания трапеции параллельны, поэтому углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$$

Сторона вписанного треугольника

В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $5\sqrt{3}$. Найдите сторону треугольника.

1. 1
   Расстояние от центра окружности до стороны равностороннего треугольника является радиусом вписанной в треугольник окружности.$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим известное значение расстояния и найдём сторону треугольника.$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 30$$

Площадь прямоугольника по диагонали

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали, поэтому диагональ равна $5$.$$d = 5$$
2. 2
   Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. По условию одна из сторон равна:$$a = d \sin \alpha = 5 \cdot 0{,}8 = 4$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь описанного квадрата

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

1. 1
   Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r$$
2. 2
   Найдём сторону квадрата при радиусе $r = 4$.$$a = 2 \cdot 4 = 8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

Сторона квадрата равна $8\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой:$$d=a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны:$$d=8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=16$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольника по диагонали

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,28. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали, поэтому $d = 25$.
2. 2
   Синус угла между стороной и диагональю равен отношению противолежащей стороны к диагонали. Найдём одну из сторон:$$b = d \sin \alpha = 25 \cdot 0{,}28 = 7$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь описанного квадрата

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 25.

1. 1
   Окружность вписана в квадрат, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.$$a = 2r$$
2. 2
   Найдём сторону квадрата:$$a = 2 \cdot 25 = 50$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол, вписанный в окружность

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $173^\circ$. Ответ дайте…

1. 1
   Так как точки $O$ и $C$ находятся в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$, не содержащую точку $C$.
2. 2
   Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона описанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 9$, $BC = 13$, $CD = 18$. Найдите $AD$.

1. 1
   В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Выразим длину стороны $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 9 + 18 - 13 = 14$$

Угол треугольника по диаметру

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $44^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, значит, $AB$ является диаметром окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
2. 2
   По теореме Фалеса угол, опирающийся на диаметр, прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус вписанной окружности

Сторона квадрата равна 34. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

1. 1
   Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 34$$
2. 2
   Радиус равен половине диаметра окружности.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{34}{2} = 17$$

Угол в окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 71^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle NBA$ — вписанный, поэтому дуга $NA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$m(\overset{\frown}{NA}) = 2 \cdot 71^\circ = 142^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$m(\overset{\frown}{NB}) = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус вписанной окружности ромба

Диагональ ромба равна 12, а его сторона равна 10. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали равна $6$.$$6 = \dfrac{12}{2}$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём половину второй диагонали:$$\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сторона описанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 4$, $BC = 12$, $CD = 21$. Найдите $AD$.

1. 1
   В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Выразим длину стороны $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 4 + 21 - 12 = 13$$

Угол вписанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $47^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$$

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $138^\circ$, угол $CAD$ равен $83^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина равна удвоенному углу $ABC$.$$\overset{\frown}{ADC}=2\cdot138^\circ=276^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot83^\circ=166^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $54^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По теореме о вписанном угле дуга $ADC$, на которую опирается угол $ABC$, равна:$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot54^\circ=108^\circ$$
2. 2
   Дуга $CD$, на которую опирается угол $CAD$, равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot41^\circ=82^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Радиус вписанной окружности

Сторона квадрата равна 62. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

1. 1
   Вписанная в квадрат окружность касается всех его сторон, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.$$d = 62$$
2. 2
   Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{62}{2} = 31$$

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $3\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Выразим длину стороны через радиус и подставим известное значение:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18$$