ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Шеңбер және іштей сызылған фигуралар» — жауаптарымен

Радиус окружности в ромбе

Диагональ ромба равна 6, а его сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

1. 1
   Половины диагоналей ромба и его сторона образуют прямоугольный треугольник. Найдём половину второй диагонали:$$\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$$
2. 2
   Тогда вторая диагональ равна 8, а площадь ромба равна:$$S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол треугольника в окружности

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $17^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, поэтому $AB$ — диаметр окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
2. 2
   По теореме Фалеса угол, опирающийся на диаметр, прямой:$$\angle ACB=90^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона вписанного треугольника

В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. Найдите сторону треугольника.

1. 1
   Расстояние от центра $O$ до стороны равностороннего треугольника является радиусом его вписанной окружности.$$r = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота прямоугольной трапеции

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Расстояние между двумя параллельными касательными равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставляем значение радиуса:$$h = 2 \cdot 18 = 36$$

Угол трапеции в окружности

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $59^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Основания трапеции параллельны: $AD \parallel BC$. Поэтому углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние углы.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$$

Радиус вписанной окружности

Сторона квадрата равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

1. 1
   Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 16$$
2. 2
   Радиус равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$$

Основание описанной трапеции

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности. Известно, что $AB = 14$, $BC = 13$, $CD = 22$. Найдите $AD$.

1. 1
   В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Выразим длину основания $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 14 + 22 - 13 = 23$$

Радиус вписанной окружности

Сторона квадрата равна 46. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

1. 1
   Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 46$$
2. 2
   Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{46}{2} = 23$$

Угол в окружности

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $74^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOB = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Вписанный угол равен половине центрального.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{106^\circ}{2} = 53^\circ$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120^\circ$, $AB = 22\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По теореме синусов:$$\frac{AB}{\sin C}=2R$$
2. 2
   Подставим известные значения и учтём, что $\sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$:$$\frac{22\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=2R$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в окружности

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $92^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOB = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$$
2. 2
   Угол $ACB$ — вписанный, он опирается на дугу $AB$. Центральный угол $AOB$, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла.$$\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{88^\circ}{2} = 44^\circ$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $30^\circ$, $AB = 16$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По теореме синусов:$$\frac{AB}{\sin C}=2R$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\frac{16}{\sin 30^\circ}=2R$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол вписанного четырёхугольника

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $33^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный четырёхугольник имеет свойство: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 33^\circ = 147^\circ$$

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $3\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Выразим длину стороны через радиус и подставим значение радиуса:$$a = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 9$$

Угол, вписанный в окружность

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $47^\circ$. Ответ дайте в…

1. 1
   Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$, поскольку точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$.
2. 2
   Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол вписанного четырёхугольника

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $82^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $A$ и $C$ являются противоположными углами вписанного четырёхугольника, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$$

Диагональ квадрата по радиусу

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $10\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r$$
2. 2
   Найдём сторону квадрата по заданному радиусу.$$a = 2 \cdot 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 43^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $\angle NBA$ опирается на дугу $NA$, поэтому её величина в два раза больше угла.$$\overset{\frown}{NA} = 2 \cdot 43^\circ = 86^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуги $AN$ и $NB$ образуют полуокружность.$$\overset{\frown}{NB} = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ квадрата по радиусу

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $16\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.$$a=2r$$
2. 2
   Найдём сторону квадрата по данному радиусу.$$a=2\cdot16\sqrt{2}=32\sqrt{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=16$.

1. 1
   Пусть $D$ — основание высоты из вершины $B$ на сторону $AC$, а $E$ — точка пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BE:ED=5:3$, поэтому $BE=\dfrac{5}{8}BD$, а расстояние от точки $E$ до прямой $AC$ равно…$$ED=\frac{3}{8}BD$$
2. 2
   Введём координаты: $D=(0,0)$, $B=(0,h)$, $A=(a,0)$, где $h=BD$. Тогда $E=\left(0,\dfrac{3h}{8}\right)$. Уравнение прямой $AB$: $hx+ay-ah=0$.

Ещё 4 қадам — толық шешімде