Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOD$ применим теорему Пифагора.$$OA^2 = AD^2 + OD^2 = a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{5a^2}{4}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 24. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 24 = 48$$
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 14$, $BC = 15$, $CD = 23$. Найдите $AD$.
- 1
У описанного около окружности четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные длины сторон и найдём $AD$.$$14 + 23 = 15 + AD$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 38. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Поэтому высота трапеции равна диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 38 = 76$$
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции — параллельные прямые, к которым касается вписанная окружность.
- 2
Расстояние между двумя параллельными касательными к окружности равно её диаметру, поэтому высота трапеции равна диаметру окружности.$$h = 2r$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 41^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle NBA$ опирается на дугу $NA$, поэтому её величина в два раза больше угла.$$\widehat{NA}=2\angle NBA=2\cdot41^\circ=82^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $NAB$ является полуокружностью.$$\widehat{NAB}=180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $16^\circ$, угол $CAD$ равен $32^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $DBC$ и $CAD$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $DC$, поэтому они равны.$$\angle DBC = \angle CAD = 32^\circ$$
- 2
Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 16^\circ + 32^\circ = 48^\circ$$
Радиус вписанной в квадрат окружности равен $22\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r = 2 \cdot 22\sqrt{2} = 44\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2} = 44\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 88$$
Радиус вписанной в квадрат окружности равен $8\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата:$$a = 2r = 2\cdot 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$:$$d = a\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 32$$
Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника:$$R = \dfrac{14\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 14$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 30$, $BC = 16$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Треугольник $ABC$ прямоугольный, так как угол $C$ равен $90^\circ$. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $AB$.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{1156} = 34$$
- 2
В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.$$R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{34}{2} = 17$$
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 7$, $BC = 5$, $CD = 17$. Найдите $AD$.
- 1
Так как трапеция описана около окружности, суммы длин её противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём основание $AD$.$$7 + 17 = 5 + AD$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $0{,}5$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Так как точка $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
- 2
Треугольник $AOD$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2 = OD^2 + AD^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $148^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOB = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$$
- 2
Угол $ACB$ — вписанный, а угол $AOB$ — центральный; они опираются на одну дугу $AB$. Вписанный угол вдвое меньше центрального.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{32^\circ}{2} = 16^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AB = 12\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По теореме синусов для описанной окружности:$$AB = 2R\sin C$$
- 2
Подставим известные значения:$$12\sqrt{3} = 2R\sin 60^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $35^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны: $AD \parallel BC$. Поэтому углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние углы при параллельных прямых.$$∠A + ∠B = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$∠B = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$$
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $36^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$
Сторона равностороннего треугольника равна $16\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника:$$r = \dfrac{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{16\cdot 3}{6} = 8$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $75^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, отрезок $AB$ является диаметром окружности.$$AB — диаметр$$
- 2
По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым:$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона квадрата равна 24. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 24$$
- 2
Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$$