Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $173^\circ$. Ответ дайте…
- 1
Так как точки $O$ и $C$ находятся в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$, не содержащую точку $C$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 9$, $BC = 13$, $CD = 18$. Найдите $AD$.
- 1
В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Выразим длину стороны $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 9 + 18 - 13 = 14$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $44^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, значит, $AB$ является диаметром окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
- 2
По теореме Фалеса угол, опирающийся на диаметр, прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона квадрата равна 34. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 34$$
- 2
Радиус равен половине диаметра окружности.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{34}{2} = 17$$
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 71^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle NBA$ — вписанный, поэтому дуга $NA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$m(\overset{\frown}{NA}) = 2 \cdot 71^\circ = 142^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$m(\overset{\frown}{NB}) = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ ромба равна 12, а его сторона равна 10. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали равна $6$.$$6 = \dfrac{12}{2}$$
- 2
По теореме Пифагора найдём половину второй диагонали:$$\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 4$, $BC = 12$, $CD = 21$. Найдите $AD$.
- 1
В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Выразим длину стороны $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 4 + 21 - 12 = 13$$
Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $73^\circ$ и $77^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $9$.
- 1
Найдём третий угол треугольника:$$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 73^\circ - 77^\circ = 30^\circ$$
- 2
По теореме синусов сторона $BC$, противолежащая углу $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$BC = 2R\sin A$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $47^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $138^\circ$, угол $CAD$ равен $83^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина равна удвоенному углу $ABC$.$$\overset{\frown}{ADC}=2\cdot138^\circ=276^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot83^\circ=166^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $54^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга $ADC$, на которую опирается угол $ABC$, равна:$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot54^\circ=108^\circ$$
- 2
Дуга $CD$, на которую опирается угол $CAD$, равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot41^\circ=82^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сторона квадрата равна 62. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Вписанная в квадрат окружность касается всех его сторон, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.$$d = 62$$
- 2
Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{62}{2} = 31$$
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $3\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Выразим длину стороны через радиус и подставим известное значение:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $53^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ является диаметром окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
- 2
По теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $65^\circ$ и $85^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $14$.
- 1
Найдём третий угол треугольника:$$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 65^\circ - 85^\circ = 30^\circ$$
- 2
Сторона $BC$ является хордой описанной окружности и лежит напротив угла $A$. По теореме синусов:$$BC = 2R\sin A$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $54^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$$
- 2
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $24^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр окружности лежит на стороне $AB$, а точки $A$ и $B$ принадлежат окружности. Следовательно, $AB$ — диаметр окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
- 2
Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Поэтому:$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника:$$r = \dfrac{18\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{18\cdot 3}{6} = 9$$
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $18\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата является диаметром описанной около него окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 18\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$$
- 2
Связь диагонали квадрата с его стороной имеет вид $d = a\sqrt{2}$. Поэтому длина стороны равна:$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 36$$
Сторона равностороннего треугольника равна $8\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника:$$R = \dfrac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$$