В треугольнике два угла равны $48^\circ$ и $65^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Найдём третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 48^\circ - 65^\circ = 67^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 14$, $BM$ — медиана, $BM = 10$. Найдите $AM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
- 2
Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$$
В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру указанного угла, если известны значения двух других элементов задачи.
- 1
Используем свойство медианы: она соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
- 2
Применяем свойства углов треугольника и заданные в условии соотношения.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, а $\angle ABC = 144^\circ$. Найдите угол $BCA$.
- 1
Стороны $AB$ и $BC$ равны, поэтому треугольник $ABC$ равнобедренный, а углы при основании равны:$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Используем сумму углов треугольника:$$\angle BAC + \angle BCA + 144^\circ = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
Обозначим другой катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 16^2 = 20^2$$
- 2
Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 16$, $BC = 25$, $\sin \angle ABC = \dfrac{3}{10}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 \cdot \dfrac{3}{10} = 60$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 55^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BH$ — высота треугольника $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Угол $BAH$ совпадает с углом $BAC$, так как точки $A$, $H$, $C$ лежат на одной прямой.$$\angle BAH = \angle BAC = 55^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 7$, $AB = 25$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Сторона $AC$ расположена напротив угла $B$.$$AB = 25,\quad AC = 7$$
- 2
Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{7}{25} = 0.28$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 72$, $AB = 75$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим значения длин сторон:$$\cos B = \dfrac{72}{75} = 0{,}96$$
В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру указанного угла, если два других угла равны $42^\circ$ и $105^\circ$.
- 1
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Медиана не влияет на сумму углов.$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$
- 2
Находим третий угол:$$180^\circ-42^\circ-105^\circ=33^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{11}{15}$, $AB = 75$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Выразим длину катета $BC$ и подставим известные значения.$$BC = AB \cdot \cos B = 75 \cdot \dfrac{11}{15} = 55$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{3}{5}$, $BC = 30$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{3}{5} = \dfrac{AC}{30}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
Обозначим искомый катет через $x$. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.$$x^2 + 40^2 = 41^2$$
- 2
Найдём квадрат искомого катета.$$x^2 = 41^2 - 40^2 = 1681 - 1600 = 81$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Обозначим гипотенузу через $c$. По теореме Пифагора:$$c^2 = 8^2 + 15^2$$
- 2
Вычислим сумму квадратов катетов:$$c^2 = 64 + 225 = 289$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 15$, $BC = 8$, $\sin \angle ABC = \dfrac{5}{6}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Стороны $AB$ и $BC$ образуют угол $\angle ABC$, поэтому площадь найдём по формуле через две стороны и синус угла между ними.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения и вычислим площадь.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \cdot \dfrac{5}{6} = 50$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 32$, $BM$ — медиана, $BM = 23$. Найдите $AM$.
- 1
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Подставим известную длину стороны $AC$.$$AM = \dfrac{32}{2} = 16$$
Биссектриса равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике биссектриса является также высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим известную длину биссектрисы и выразим сторону треугольника.$$a = \dfrac{2h}{\sqrt{3}} = \dfrac{2 \cdot 11\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 22$$
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Используем формулу площади треугольника через сторону и высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим значения стороны и высоты:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot 19 = 8 \cdot 19 = 152$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 7^2 + 24^2$$
- 2
Вычислим длину гипотенузы:$$c = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Обозначим гипотенузу через $c$. По теореме Пифагора:$$c^2 = 12^2 + 5^2$$
- 2
Находим значение гипотенузы:$$c = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$