Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Тригонометрия» — с ответами

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$.

1. 1
   Раскроем синус суммы:$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$$
2. 2
   Подставим выражение в исходное уравнение и сократим одинаковые слагаемые:$$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $\cos^2 x + \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5\pi; 6\pi]$.

1. 1
   Применим формулы понижения степени к квадратам синуса и косинуса:$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2},\quad \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 - \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \frac{1 - \sin 2x}{2}$$
2. 2
   Подставим полученные выражения в исходное уравнение:$$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 - \sin 2x}{2} = \frac{1}{2}$$

Ещё 8 шагов — в полном решении

Решение тригонометрического уравнения

Решите уравнение. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

1. 1
   На предоставленном изображении видны только указания решить уравнение и выбрать корни на отрезке. Само уравнение и границы отрезка не отображаются.
2. 2
   Поэтому выполнить пункты а) и б), а также однозначно определить правильный развёрнутый ответ невозможно.

Тригонометрическое уравнение с косинусом двойного угла

Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$.

1. 1
   Раскроем синус суммы:$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$$
2. 2
   Подставим это выражение в исходное уравнение и сократим $\sin x$:$$\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad\cos x-\cos 2x=1$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Тригонометрическое уравнение с параметром

Решите уравнение $2\cos x-\sqrt{3}\sin^2x=2\cos^3x$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.

1. 1
   Перенесём правую часть уравнения в левую и сгруппируем слагаемые:$$2\cos x-2\cos^3x-\sqrt{3}\sin^2x=0$$
2. 2
   Вынесем общий множитель и применим формулу $1-\cos^2x=\sin^2x$:$$2\cos x(1-\cos^2x)-\sqrt{3}\sin^2x=0$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Тригонометрическое уравнение на отрезке

а) Решите уравнение $2\cos^2 x + 3\sin(x + \pi) - 3 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

1. 1
   Преобразуем синус суммы и косинус в квадрате:$$\sin(x+\pi)=-\sin x,\quad \cos^2x=1-\sin^2x$$
2. 2
   Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Тригонометрическое уравнение с тангенсом

а) Решите уравнение $\sqrt{3}\tg^2 x - 4\tg x + \sqrt{3} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$.

1. 1
   Выполним замену $t = \tg x$. Получим квадратное уравнение:$$\sqrt{3}t^2 - 4t + \sqrt{3} = 0$$
2. 2
   Найдём дискриминант:$$D = (-4)^2 - 4\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 16 - 12 = 4$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi; -\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

1. 1
   Преобразуем косинус и раскроем синус разности:$$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x$$
2. 2
   Подставим эти выражения в исходное уравнение и упростим:$$2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x\right)-2\sqrt{3}\sin x=0$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Тригонометрическое уравнение с корнем

а) Решите уравнение $\dfrac{9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}}=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$.

1. 1
   Для существования выражения необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным:$$11\sin x>0\quad\Longrightarrow\quad \sin x>0$$
2. 2
   При выполнении этого условия знаменатель не равен нулю, поэтому числитель должен быть равен нулю:$$9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}=0$$

Ещё 7 шагов — в полном решении

Тригонометрическое выражение

Найдите значение тригонометрического выражения, если заданы два условия.

1. 1
   В распознанном тексте и на приложенном изображении отсутствуют выражение и значения заданных тригонометрических функций.
2. 2
   Без этих данных числовой ответ определить невозможно.