Задание 3 ЕГЭ по профильной математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Объём конуса по цилиндру

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 18. Найдите объём конуса.

1. 1
   Запишем формулы объёмов цилиндра и конуса с одинаковыми радиусом основания и высотой.$$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h,\quad V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Следовательно, объём конуса в три раза меньше объёма цилиндра.$$V_{\text{кон}} = \frac{V_{\text{цил}}}{3} = \frac{18}{3} = 6$$

Радиус сферы около конуса

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $9\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

1. 1
   Обозначим радиус сферы и радиус основания конуса через $R$. Так как центр сферы совпадает с центром основания, расстояние от него до вершины конуса, то есть высота конуса, также равно $R$.$$h=R$$
2. 2
   По теореме Пифагора для образующей конуса:$$l^2=R^2+h^2=R^2+R^2=2R^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Образующая конуса и сфера

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $84\sqrt{2}$. Найдите длину образующей…

1. 1
   Окружность основания конуса лежит на сфере, а центр сферы находится в центре основания. Поэтому радиус основания конуса равен радиусу сферы:$$r=84\sqrt{2}$$
2. 2
   Вершина конуса также лежит на сфере, поэтому расстояние от центра основания до вершины, то есть высота конуса, равно радиусу сферы:$$h=84\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндра по объёму конуса

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём конуса равен 6. Найдите объём цилиндра.

1. 1
   При одинаковых основании и высоте объём конуса составляет одну треть объёма цилиндра.$$V_{\text{к}} = \dfrac{1}{3}V_{\text{ц}}$$
2. 2
   Выразим объём цилиндра и подставим известное значение.$$V_{\text{ц}} = 3V_{\text{к}} = 3 \cdot 6 = 18$$

Объём многогранника в призме

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $B_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $3$, а боковое ребро равно $8$.

1. 1
   Многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $B_1$ является треугольной пирамидой с основанием $ABC$.$$S_{ABC}=3$$
2. 2
   Высота пирамиды равна расстоянию от точки $B_1$ до плоскости основания $ABC$. Это расстояние равно боковому ребру призмы.$$h=BB_1=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности призмы

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой…

1. 1
   Средняя линия треугольника отсекает треугольник, стороны которого в 2 раза меньше соответствующих сторон исходного треугольника.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Периметр отсечённого треугольного основания в 2 раза меньше периметра исходного. Высота призмы сохраняется, поэтому площадь боковой поверхности также в 2 раза меньше.$$S_{\text{отс}}=\frac{1}{2}S_{\text{исх}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковые поверхности тел вращения

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

1. 1
   Так как высота цилиндра равна радиусу основания, обозначим их через $r$: $h=r$. Образующая конуса равна$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}$$
2. 2
   Площадь боковой поверхности конуса по условию равна $3\sqrt{2}$:$$\pi r l=\pi r\cdot r\sqrt{2}=\pi r^2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём тетраэдра в параллелепипеде

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 9$, $BC = 6$, $AA_1 = 5$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.

1. 1
   Основанием тетраэдра $ABCB_1$ выберем треугольник $ABC$. Он прямоугольный, так как $AB \perp BC$.$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27$$
2. 2
   Высота тетраэдра равна ребру $BB_1$, а в прямоугольном параллелепипеде $BB_1 = AA_1 = 5$.$$h = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса при изменении высоты

Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Радиус основания остаётся прежним, поэтому множитель $\dfrac{1}{3}\pi r^2$ не изменяется. Объём прямо пропорционален высоте.$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{1}{9}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём части треугольной призмы

Дана правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $8$, а боковое ребро равно $6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $C$, $A_1$…

1. 1
   Обозначим высоту призмы через $h=6$, а площадь её основания через $S_0=8$.
2. 2
   На высоте $x$ сечение искомого многогранника представляет собой трапецию, площадь которой выражается формулой$$S(x)=S_0\left(2\frac{x}{h}-\left(\frac{x}{h}\right)^2\right)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём треугольной призмы

Объём куба равен 144. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из…

1. 1
   Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда объём куба равен $a^3=144$.
2. 2
   Сечение плоскостью в грани, перпендикулярной третьему ребру, представляет собой прямоугольный треугольник с катетами $\dfrac{a}{2}$ и $\dfrac{a}{2}$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём второго цилиндра

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2h$. При переходе от первого цилиндра ко второму радиус увеличивается в 2 раза, поэтому множитель для $r^2$ равен $2^2 = 4$.$$r_2^2 = (2r_1)^2 = 4r_1^2$$
2. 2
   Высота второго цилиндра в 3 раза меньше, поэтому $h_2 = \dfrac{h_1}{3}$. Следовательно, объём второго цилиндра в $\dfrac{4}{3}$ раза больше объёма первого.$$V_2 = V_1 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной призмы

Объём куба равен 80. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из…

1. 1
   Пусть ребро куба равно $a$. Основанием отсечённой призмы является прямоугольный треугольник на грани куба. Его катеты равны половинам рёбер куба:$$b=c=\dfrac{a}{2}$$
2. 2
   Площадь основания призмы равна:$$S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^2}{8}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь поверхности шара

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара, равна 12. Найдите площадь поверхности шара.

1. 1
   Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, является большим кругом. Его площадь равна 12:$$\pi r^2 = 12$$
2. 2
   Площадь поверхности шара в четыре раза больше площади большого круга:$$S = 4\pi r^2 = 4 \cdot 12 = 48$$