Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Корень уравнения

Найдите корень уравнения.

1. 1
   В предоставленном изображении само уравнение не отображается, поэтому промежуточные преобразования восстановить невозможно.
2. 2
   По проверенному правильному ответу корень уравнения равен 28.$$x = 28$$

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{0{,}2}(2x-3)+\log_{0{,}2}7=\log_{0{,}2}28$.

1. 1
   Проверим область допустимых значений: аргумент первого логарифма должен быть положительным.$$2x-3>0$$
2. 2
   Объединим логарифмы с одинаковым основанием.$$\log_{0{,}2}\bigl(7(2x-3)\bigr)=\log_{0{,}2}28$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{9}(2x - 13) + \log_{9}7 = \log_{9}14$.

1. 1
   Объединим логарифмы в левой части по формуле суммы логарифмов.$$\log_{9}(2x-13)+\log_{9}7=\log_{9}(7(2x-13))$$
2. 2
   Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем их аргументы.$$7(2x-13)=14$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^{7x+4} : \left(\frac{1}{3}\right)^{-5x+3} = \frac{1}{81}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $\frac{1}{3}$:$$\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{3}\right)^4$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием и приравняем показатели:$$\left(\frac{1}{3}\right)^{(7x+4)-(-5x+3)}=\left(\frac{1}{3}\right)^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5x-9}=\dfrac{1}{64}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $\dfrac{1}{2}$:$$\dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{2^6}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$5x-9=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $2 + 9x = 4x + 3$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:$$9x - 4x = 3 - 2$$
2. 2
   Упростим уравнение:$$5x = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{8}\right)^{4-x}=64$.

1. 1
   Представим левую и правую части уравнения как степени двойки:$$\left(\frac{1}{8}\right)^{4-x}=\left(2^{-3}\right)^{4-x}=2^{-3(4-x)},\quad 64=2^6$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$-3(4-x)=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-8(3+x)+x=4$.

1. 1
   Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:$$-8(3+x)+x=4 \Rightarrow -24-8x+x=4 \Rightarrow -24-7x=4$$
2. 2
   Перенесём свободный член в правую часть:$$-7x=4+24=28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{19 + 5x} = 2$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$19 + 5x = 2^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$5x = 4 - 19 = -15$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корни квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 5x = -6$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть:$$x^2 + 5x + 6 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x+2)(x+3)=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{6x+3}\cdot 2^{5-4x}=32$.

1. 1
   Представим число $32$ как степень числа $2$:$$32=2^5$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$2^{6x+3}\cdot 2^{5-4x}=2^{(6x+3)+(5-4x)}=2^{2x+8}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{6}\right)^{4x-6}=\dfrac{1}{36}$.

1. 1
   Представим правую часть как степень с основанием $\dfrac{1}{6}$:$$\dfrac{1}{36}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^2$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$4x-6=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Иррациональное уравнение

Решите уравнение $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{10}$.

1. 1
   Так как корень находится в знаменателе, необходимо $x > 0$.
2. 2
   Из равенства обратных дробей получаем:$$\sqrt{x} = 10$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Найдите корень уравнения $(2x - 6)^2 - 4x^2 = 0$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(2x-6)^2-(2x)^2=((2x-6)-2x)((2x-6)+2x)$$
2. 2
   Раскроем множители.$$-6(4x-6)=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_5(-2x+9)=2$.

1. 1
   По определению логарифма преобразуем уравнение:$$-2x+9=5^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$-2x+9=25,\quad -2x=16,\quad x=-8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{7}(2x+3)=1$.

1. 1
   По определению логарифма преобразуем уравнение:$$2x+3=7^1$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$2x+3=7,\quad 2x=4,\quad x=2$$

Корень уравнения

Найдите корень уравнения. Формула уравнения в исходных данных отсутствует.

1. 1
   В условии присутствует только указание найти корень, но само уравнение не приведено.
2. 2
   Без уравнения невозможно выполнить преобразования и найти значение корня.

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{13}(-4x+23)=2$.

1. 1
   Перейдём от логарифмической формы уравнения к показательной:$$-4x+23=13^2$$
2. 2
   Вычислим значение степени и решим линейное уравнение:$$-4x+23=169$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{3-x} = 2^{5-2x}$.

1. 1
   Основания степеней одинаковы и равны $2$, поэтому приравняем показатели.$$3-x=5-2x$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение.$$3+x=5\quad\Rightarrow\quad x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{11}(5x + 106) = 2$.

1. 1
   По определению логарифма преобразуем уравнение:$$5x + 106 = 11^2$$
2. 2
   Вычислим значение степени и решим линейное уравнение:$$5x + 106 = 121,\quad 5x = 15,\quad x = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении