Маша и Медведь съели 102 печенья и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в…
- 1
Пусть Маша ест печенье со скоростью $v$, тогда Медведь ест печенье со скоростью $4v$. Обозначим время до обмена продуктами через $t_1$, а после обмена — через $t_2$.
- 2
За время $t_1$ Маша съела варенье со скоростью $u$, а за время $t_2$ Медведь съел варенье со скоростью $4u$. По условию варенья съедено поровну:$$ut_1=4ut_2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Если бы каждый из двух множителей увеличили на 2, то их произведение увеличилось бы на 12. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 3?
- 1
Обозначим множители через $a$ и $b$. По условию при увеличении каждого множителя на 2 произведение увеличивается на 12:$$(a+2)(b+2)-ab=12$$
- 2
Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+2a+2b+4-ab=12,\quad 2a+2b=8,\quad a+b=4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 7 больших фишек, отдав 10 маленьких. До обменов у Пети было 257 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 185…
- 1
За один обмен Петя отдаёт 10 фишек и получает 7 фишек, поэтому общее количество фишек уменьшается на 3.$$10 - 7 = 3$$
- 2
Найдём, на сколько фишек уменьшилось их общее количество.$$257 - 185 = 72$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 11, 12 и 11. Найдите периметр…
- 1
Пусть ширины левой и правой частей равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — $c$ и $d$. Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке имеют вид:$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$
- 2
При сложении периметров первого и третьего прямоугольников и вычитании периметра второго получаем периметр четвёртого:$$P_4=P_1+P_3-P_2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице по столбцам.$$103 + 97 + 93 = 293$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 21 и меньшее 24, поэтому она равна 22 или 23.
Ещё 2 шага — в полном решении
Маша и Медведь съели 115 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в два…
- 1
Пусть Маша ест со скоростью $v$, Медведь — со скоростью $2v$. Общее время еды обозначим через $T$, а время, в течение которого Маша ела варенье, — через $t$.$$v t = 2v(T-t)$$
- 2
Сокращаем на $v$ и находим продолжительность первого этапа:$$t=2(T-t),\quad 3t=2T,\quad t=\dfrac{2T}{3}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Пусть $f$ — число этажей, $a$ — число квартир на этаже, $e$ — число подъездов. Тогда общее число квартир равно:$$f \cdot a \cdot e = 273$$
- 2
Разложим число $273$ на простые множители:$$273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Семь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими семью столбами?
- 1
Посчитаем общее количество концов проводов: от каждого из семи столбов отходит по четыре провода.$$7 \cdot 4 = 28$$
- 2
Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$28 : 2 = 14$$
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 124, во втором — 132, в третьем — 142, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$124+132+142=398$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — целое число, больше 27, но меньше 30. Следовательно, она может быть равна только 28 или 29.
Ещё 2 шага — в полном решении
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На…
- 1
Пусть на каждом этаже находится $x$ квартир. Тогда в одном подъезде $12x$ квартир.
- 2
Перед восьмым подъездом находятся семь подъездов, поэтому номер квартиры 468 удовлетворяет неравенству $7\cdot 12x < 468 \leq 8\cdot 12x$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 2 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…
- 1
Обозначим наименьший угол через $x$. Тогда наибольший угол равен $2x$, а средний угол — $360 - 3x$.$$x + (360 - 3x) + 2x = 360$$
- 2
Средний угол должен быть больше наименьшего и меньше наибольшего:$$x < 360 - 3x < 2x$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр — на 1700 рублей больше, чем за предыдущий…
- 1
Выплаты за каждый метр образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3700 рублей и разностью 1700 рублей.$$a_1 = 3700,\quad d = 1700,\quad n = 8$$
- 2
Найдём сумму выплат за 8 метров по формуле суммы арифметической прогрессии.$$S_8 = \dfrac{8}{2}\left(2 \cdot 3700 + (8-1) \cdot 1700\right)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 7 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…
- 1
Пусть наименьший угол равен $x$ градусов, средний угол — $y$ градусов. Тогда наибольший угол равен $7x$ градусов.$$x+y+7x=360$$
- 2
Выразим средний угол через наименьший.$$y=360-8x$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Оля, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Оля живёт в квартире № 98. В каком подъезде живёт Оля?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 6 = 54$$
- 2
Первый подъезд содержит квартиры с номерами от 1 до 54. Квартира № 98 находится во втором подъезде, так как 54 < 98 \leq 108.$$98 - 54 = 44$$
На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Если разрезать…
- 1
При разрезе ленты в точке, находящейся на расстоянии $x$ от её середины, одна часть длиннее другой на $2x$.$$\Delta l = 2x$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}} = \frac{5}{2} = 2{,}5\text{ см}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, чтобы сумма всех чисел в первом столбце была равна 127, во втором — 136, в третьем — 146, а сумма…
- 1
Сумма всех чисел в таблице равна сумме сумм по трём столбцам:$$127+136+146=409$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 17 и меньшее 20, поэтому она равна 18 или 19.
Ещё 2 шага — в полном решении
Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 6 больших фишек, отдав 9 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 79…
- 1
За один обмен Петя отдаёт 9 фишек и получает 6, поэтому общее количество фишек уменьшается на 3.$$9 - 6 = 3$$
- 2
Обозначим число обменов через $x$. После $x$ обменов количество фишек составит 79.$$100 - 3x = 79$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если…
- 1
Если разрез проходит на расстоянии $x$ от середины ленты, разность длин получившихся частей равна удвоенному расстоянию до середины: $2x$.$$2x = d$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}} = \frac{35}{2} = 17{,}5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…
- 1
За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или $-1$. После 11 прыжков координата может принимать значения от $-11$ до $11$.
- 2
Так как число прыжков нечётное, конечная координата должна быть нечётной. Получаем последовательность $-11,-9,-7,\ldots,9,11$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Клетки таблицы $7 \times 4$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 16 пар соседних клеток разного цвета и 12 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…
- 1
В каждой из 7 строк есть 3 горизонтальные пары соседних клеток, поэтому горизонтальных пар $7 \cdot 3 = 21$.
- 2
Между соседними строками есть 6 границ, на каждой границе по 4 вертикальные пары, поэтому вертикальных пар $6 \cdot 4 = 24$.
Ещё 2 шага — в полном решении