ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Стереометрия» — жауаптарымен

Объём цилиндрической кружки

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая — вдвое шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Вторая кружка вдвое шире первой, значит её радиус в 2 раза больше. Первая кружка в 1,5 раза ниже второй, значит высота второй в 1,5 раза больше высоты первой.$$\frac{r_2}{r_1}=2, \quad \frac{h_2}{h_1}=1{,}5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно $\sqrt{41}$.

1. 1
   Основание пирамиды — квадрат со стороной 8, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=8^2=64$$
2. 2
   Расстояние от центра квадрата до вершины основания равно половине диагонали квадрата:$$OC=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём цилиндрического бака

Высота бака цилиндрической формы равна 50 см, а площадь его основания равна 140 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём объём в кубических сантиметрах.$$V = 140 \cdot 50 = 7000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Переливание воды в цилиндр

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 10$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания втрое меньше, чем у…

1. 1
   Объём воды при переливании остаётся постоянным. Для цилиндра объём равен произведению площади основания на высоту.$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Радиус основания нового сосуда в 3 раза меньше, поэтому площадь его основания в 9 раз меньше.$$r_2 = \frac{r_1}{3},\quad \pi r_2^2 = \frac{1}{9}\pi r_1^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна $7\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной 2. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot7\sqrt{3}=7$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $50\ см \times 40\ см \times 40\ см$. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений.$$V = abc$$
2. 2
   Вычислим объём аквариума в кубических сантиметрах:$$V = 50 \cdot 40 \cdot 40 = 80000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 55 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного всему сосуду. Все линейные размеры этого конуса в 2 раза меньше соответствующих размеров сосуда.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной воды равен объёму детали.$$V_{\text{детали}}=V_{\text{вытесненной воды}}$$
2. 2
   Новый объём воды стал в 1,6 раза больше исходного, поэтому объём вытесненной воды равен:$$10 \cdot 1{,}6 - 10 = 6\text{ л}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $2$, а высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $2$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}=3$$

Высота музейной копии пирамиды

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 11 см. Найдите…

1. 1
   Переведём размеры оригинала в сантиметры: $220\ \text{м}=22000\ \text{см}$, $104\ \text{м}=10400\ \text{см}$.
2. 2
   Коэффициент подобия копии и оригинала равен отношению соответствующих сторон основания:$$k=\frac{11}{22000}=\frac{1}{2000}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, стоящего на основании, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   При полном погружении детали деңгей воды увеличивается на объём детали.$$V_{\text{дет}} = (1{,}4 - 1) \cdot 5 = 0{,}4 \cdot 5 = 2\ \text{л}$$
2. 2
   Переведём объём детали в кубические сантиметры.$$2 \cdot 1000 = 2000\ \text{см}^3$$

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 40, боковое ребро равно 101. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая грань пирамиды — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 101 и основанием 40. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{101^2 - 20^2} = \sqrt{10201 - 400} = \sqrt{9801} = 99$$
2. 2
   Площадь одной боковой грани равна:$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 99 = 1980$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём цилиндрического бака

Высота бака цилиндрической формы равна 50 см, а площадь его основания равна 160 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Подставим значения площади основания и высоты:$$V = 160 \cdot 50 = 8000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Уровень воды в цилиндре

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 90$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания втрое больше, чем у…

1. 1
   Объём воды при переливании сохраняется. Объём цилиндра равен:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Пусть радиус первого сосуда равен $r$, а уровень воды во втором сосуде — $h_2$. Радиус второго сосуда равен $3r$.$$\pi r^2 \cdot 90 = \pi (3r)^2 \cdot h_2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что…

1. 1
   В цилиндрическом баке площадь основания постоянна, поэтому объём воды пропорционален высоте деңгейі.$$V_2 = 1{,}2V_1$$
2. 2
   Найдём объём воды после погружения детали:$$V_2 = 1{,}2 \cdot 5 = 6\ \text{л}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 5 см весит 875 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из бір материала, поэтому отношение их масс равно отношению объёмов.$$m_2 = m_1\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$
2. 2
   Подставим известные значения диаметров и массы первого шара:$$m_2 = 875\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = 875\cdot\dfrac{8}{125}=56$$

Высота копии пирамиды

Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота 147 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 23 см. Найдите…

1. 1
   Переведём размеры оригинальной пирамиды в сантиметры: $230\ \text{м}=23000\ \text{см}$, $147\ \text{м}=14700\ \text{см}$.
2. 2
   Коэффициент подобия копии и оригинала равен отношению сторон оснований:$$k=\frac{23}{23000}=\frac{1}{1000}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 4 см весит 256 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как объёмы. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
2. 2
   Находим массу шара диаметром 5 см:$$m_2 = 256 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^3 = 256 \cdot \frac{125}{64} = 500$$

Объём пирамиды с треугольным основанием

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $4$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $5\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h=SA=5\sqrt{3}$$
2. 2
   Площадь правильного треугольника со стороной $4$ равна:$$S_{ABC}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём вытесненной жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 20 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 20^2 = 400\ \text{см}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде