Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Корень в произведении

Найдите значение выражения $(\sqrt{23}+3)(\sqrt{23}-3)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению суммы и разности.$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения $a=\sqrt{23}$ и $b=3$ и вычислим.$$(\sqrt{23}+3)(\sqrt{23}-3)=(\sqrt{23})^2-3^2=23-9=14$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{66}{(2\sqrt{3})^2}$.

1. 1
   Преобразуем квадрат знаменателя:$$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$$
2. 2
   Делим 66 на полученное значение:$$\dfrac{66}{12} = 5{,}5$$

Вычисление значения степени

Найдите значение выражения $\dfrac{4^5}{2^6}:2^2$.

1. 1
   Представим $4$ как степень числа $2$:$$4^5=(2^2)^5=2^{10}$$
2. 2
   Применим свойства степеней при делении:$$\dfrac{4^5}{2^6}:2^2=\dfrac{2^{10}}{2^6}:2^2=2^{10-6-2}=2^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $5^{1+\log_5 3}$.

1. 1
   Представим число $1$ в показателе степени как логарифм:$$1=\log_5 5$$
2. 2
   Объединим логарифмы с одинаковым основанием:$$5^{1+\log_5 3}=5^{\log_5 5+\log_5 3}=5^{\log_5(5\cdot3)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\left(3\frac{1}{5} - 2{,}8\right) \cdot 6\frac{1}{4}$.

1. 1
   Представим смешанные числа в виде десятичных дробей:$$3\frac{1}{5}=3{,}2, \qquad 6\frac{1}{4}=6{,}25$$
2. 2
   Вычислим разность в скобках:$$3{,}2-2{,}8=0{,}4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^9 \cdot 3^8}{6^7}$.

1. 1
   Разложим основание знаменателя на множители:$$6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{2^9 \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^7} = 2^{9-7} \cdot 3^{8-7} = 2^2 \cdot 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$.

1. 1
   Применим свойство произведения арифметических квадратных корней:$$\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и извлечём корень:$$\sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{6^{-4}}{(6^3)^{-2}}$.

1. 1
   Преобразуем степень степени в знаменателе:$$(6^3)^{-2}=6^{3\cdot(-2)}=6^{-6}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{6^{-4}}{6^{-6}}=6^{-4-(-6)}=6^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{4}{7}\sqrt{8}\cdot\sqrt{98}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней:$$\sqrt{8}\cdot\sqrt{98}=\sqrt{8\cdot98}$$
2. 2
   Вычислим значение корня:$$\sqrt{8\cdot98}=\sqrt{784}=28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$.

1. 1
   Используем свойство частного квадратных корней:$$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{75}{3}}$$
2. 2
   Выполняем деление подкоренных выражений и извлекаем корень:$$\sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$$

Произведение арифметических корней

Найдите значение выражения $\sqrt{44}\cdot\sqrt{11}$.

1. 1
   Применим свойство произведения арифметических корней.$$\sqrt{44}\cdot\sqrt{11}=\sqrt{44\cdot11}$$
2. 2
   Вычислим произведение подкоренных выражений и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{44\cdot11}=\sqrt{484}=22$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{8^9}{64^3}$.

1. 1
   Представим числа $8$ и $64$ в виде степеней двойки:$$8 = 2^3,\quad 64 = 2^6$$
2. 2
   Преобразуем числитель и знаменатель:$$8^9 = (2^3)^9 = 2^{27},\quad 64^3 = (2^6)^3 = 2^{18}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-9} \cdot 3^9}{3^{-4}}$.

1. 1
   Объединим степени в числителе с одинаковым основанием:$$3^{-9} \cdot 3^9 = 3^{-9+9} = 3^0 = 1$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{3^0}{3^{-4}} = 3^{0-(-4)} = 3^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{(6\sqrt{2})^2}{24}$.

1. 1
   Возведём произведение в квадрат и вычислим квадрат корня:$$(6\sqrt{2})^2=6^2\cdot(\sqrt{2})^2=36\cdot2=72$$
2. 2
   Поделим полученное значение на 24:$$\dfrac{72}{24}=3$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $68 \cdot 10 - 2{,}7 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим значение степени и произведений:$$10^2 = 100, \quad 68 \cdot 10 = 680, \quad 2{,}7 \cdot 100 = 270$$
2. 2
   Вычтем второе произведение из первого:$$680 - 270 = 410$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\left(7{,}5 \cdot 10^2\right) : \left(1{,}5 \cdot 10^{-2}\right)$.

1. 1
   Разделим числовые множители и степени десяти:$$\frac{7{,}5 \cdot 10^2}{1{,}5 \cdot 10^{-2}} = \frac{7{,}5}{1{,}5} \cdot 10^{2-(-2)}$$
2. 2
   Вычислим полученное выражение:$$5 \cdot 10^4 = 50000$$

Значение дробного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{14}}$.

1. 1
   Приведём сумму в знаменателе к общему знаменателю:$$1+\dfrac{1}{14}=\dfrac{14}{14}+\dfrac{1}{14}=\dfrac{15}{14}$$
2. 2
   Разделим 3 на полученную дробь:$$\dfrac{3}{\frac{15}{14}}=3\cdot\dfrac{14}{15}=\dfrac{42}{15}=\dfrac{14}{5}=2{,}8$$

Значение показательного выражения

Найдите значение выражения $3^{5\log_3 2}$.

1. 1
   Используем свойство степени: произведение показателя можно вынести за скобки.$$3^{5\log_3 2}=\left(3^{\log_3 2}\right)^5$$
2. 2
   По основному свойству логарифма $3^{\log_3 2}=2$.$$\left(3^{\log_3 2}\right)^5=2^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $2^{\log_2 3 - 1}$.

1. 1
   Применим свойство степени с разностью показателей.$$2^{\log_2 3-1}=\frac{2^{\log_2 3}}{2^1}$$
2. 2
   По определению логарифма $2^{\log_2 3}=3$.$$2^{\log_2 3-1}=\frac{3}{2}=1{,}5$$

Значение дробного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{4{,}4}{5{,}8 - 5{,}3}$.

1. 1
   Вычислим разность в знаменателе:$$5{,}8 - 5{,}3 = 0{,}5$$
2. 2
   Разделим числитель на полученный знаменатель:$$\dfrac{4{,}4}{0{,}5} = 8{,}8$$