Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $5 \cdot 10^{-1} + 3 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1$.

1. 1
   Вычислим степени десяти:$$10^{-1}=0{,}1,\quad 10^2=100,\quad 10^1=10$$
2. 2
   Подставим значения в выражение:$$5 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 = 0{,}5 + 300 + 70$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{8^{11} \cdot 4^7}{32^9}$.

1. 1
   Представим основания степеней как степени числа $2$.$$8^{11} = (2^3)^{11},\quad 4^7 = (2^2)^7,\quad 32^9 = (2^5)^9$$
2. 2
   Применим правило возведения степени в степень и объединим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{(2^3)^{11} \cdot (2^2)^7}{(2^5)^9} = \dfrac{2^{33} \cdot 2^{14}}{2^{45}} = 2^{33+14-45} = 2^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $5 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^{-2}$.

1. 1
   Вычислим каждое слагаемое.$$5 \cdot 10^{-1} = 5 \cdot 0{,}1 = 0{,}5$$
2. 2
   Для остальных слагаемых получаем:$$7 \cdot 10^1 = 70, \quad 6 \cdot 10^{-2} = 6 \cdot 0{,}01 = 0{,}06$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $9 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1$.

1. 1
   Вычислим значения степеней десяти:$$10^3 = 1000,\quad 10^2 = 100,\quad 10^1 = 10$$
2. 2
   Подставим значения в выражение:$$9 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 3 \cdot 10 = 9000 + 500 + 30 = 9530$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{3\cdot55}}{\sqrt{5\cdot33}}$.

1. 1
   Преобразуем подкоренное выражение в знаменателе:$$5\cdot33=165=3\cdot55$$
2. 2
   Числитель и знаменатель дроби одинаковы:$$\dfrac{\sqrt{3\cdot55}}{\sqrt{5\cdot33}}=\dfrac{\sqrt{165}}{\sqrt{165}}=1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{9^{-10}\cdot 9^6}{9^{-6}}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{9^{-10}\cdot 9^6}{9^{-6}}=9^{-10+6-(-6)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени.$$-10+6-(-6)=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упрощение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{5}{2}\sqrt{18}\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Объединим произведение арифметических корней:$$\sqrt{18}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{18\cdot2}=\sqrt{36}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$\dfrac{5}{2}\sqrt{36}=\dfrac{5}{2}\cdot6=15$$

Вычисление выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{7^{-3} \cdot 7^9}{7^4}$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{7^{-3} \cdot 7^9}{7^4}=7^{-3+9-4}$$
2. 2
   Вычисляем показатель степени и значение степени.$$7^{-3+9-4}=7^2=49$$

Сумма логарифмов по основанию 2

Найдите значение выражения $\log_2 6{,}4 + \log_2 5$.

1. 1
   Применяем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_2 6{,}4 + \log_2 5 = \log_2(6{,}4 \cdot 5)$$
2. 2
   Вычисляем произведение под знаком логарифма и значение логарифма:$$\log_2(6{,}4 \cdot 5) = \log_2 32 = 5$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{20^{11}}{4^{10}\cdot 5^{12}}$.

1. 1
   Представим $20$ как произведение $4\cdot 5$ и применим формулу степени произведения.$$20^{11}=(4\cdot 5)^{11}=4^{11}\cdot 5^{11}$$
2. 2
   Подставим полученное представление в выражение и сократим степени.$$\dfrac{20^{11}}{4^{10}\cdot 5^{12}}=\dfrac{4^{11}\cdot 5^{11}}{4^{10}\cdot 5^{12}}=\dfrac{4}{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $7^1 + \log_{7} 3$.

1. 1
   Вычисляем значение первой части выражения:$$7^1 = 7$$
2. 2
   Подставляем значение логарифмической части и складываем с результатом:$$7 + 14 = 21$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-10} \cdot 3^5}{3^{-7}}$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{3^{-10} \cdot 3^5}{3^{-7}} = 3^{-10+5-(-7)}$$
2. 2
   Вычисляем показатель степени и значение выражения.$$3^{-10+5+7} = 3^2 = 9$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(8^{-3})^2}{8^{-8}}$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(8^{-3})^2 = 8^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{8^{-6}}{8^{-8}} = 8^{-6-(-8)} = 8^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{288}}{3\sqrt{8}}$.

1. 1
   Разложим подкоренное выражение $288$ на множители и вынесем полный квадрат из-под корня.$$\sqrt{288}=\sqrt{36\cdot 8}=6\sqrt{8}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение в исходную дробь и сократим общий множитель.$$\dfrac{\sqrt{288}}{3\sqrt{8}}=\dfrac{6\sqrt{8}}{3\sqrt{8}}=2$$

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-6} \cdot 3^2}{3^{-9}}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются.$$\dfrac{3^{-6} \cdot 3^2}{3^{-9}} = 3^{-6+2-(-9)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени.$$-6+2-(-9)=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{5}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней:$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}=\sqrt{2\cdot32}=\sqrt{64}=8$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение:$$\dfrac{5}{2}\cdot8=20$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $3{,}8 + 2{,}04 : 1{,}7$.

1. 1
   Сначала выполним деление десятичных дробей.$$2{,}04 : 1{,}7 = 20{,}4 : 17 = 1{,}2$$
2. 2
   Прибавим полученный результат к $3{,}8$.$$3{,}8 + 1{,}2 = 5$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{8^2}{2^4}$.

1. 1
   Вычислим числитель и знаменатель:$$8^2 = 64,\quad 2^4 = 16$$
2. 2
   Разделим числитель на знаменатель:$$\dfrac{8^2}{2^4} = \dfrac{64}{16} = 4$$

Умножение арифметических корней

Найдите значение выражения $(\sqrt{20} - \sqrt{5})\sqrt{5}$.

1. 1
   Представим число $20$ как произведение $4 \cdot 5$ и упростим корень:$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним действия:$$(\sqrt{20}-\sqrt{5})\sqrt{5}=(2\sqrt{5}-\sqrt{5})\sqrt{5}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5$$

Упростить степень

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{-8}\cdot 2^9}{2^{-2}}$.

1. 1
   Применяем свойства степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются.$$\dfrac{2^{-8}\cdot 2^9}{2^{-2}}=2^{-8+9-(-2)}$$
2. 2
   Вычисляем показатель степени и значение выражения.$$2^{-8+9+2}=2^3=8$$