ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Дәрежелер, түбірлер, логарифмдер» — жауаптарымен

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_3(\log_3 27)$.

1. 1
   Вычислим внутренний логарифм, представив число $27$ в виде степени числа $3$.$$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$
2. 2
   Подставим полученное значение во внешний логарифм.$$\log_3(\log_3 27) = \log_3 3 = 1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(6^{-3})^2}{6^{-8}}$.

1. 1
   Возводим степень в степень, перемножая показатели:$$(6^{-3})^2=6^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{6^{-6}}{6^{-8}}=6^{-6-(-8)}=6^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{4^7 \cdot 12^{13}}{48^{10}}$.

1. 1
   Представим число $48$ как произведение $4 \cdot 12$.$$48^{10} = (4 \cdot 12)^{10} = 4^{10} \cdot 12^{10}$$
2. 2
   Сократим степени одинаковых множителей.$$\dfrac{4^7 \cdot 12^{13}}{4^{10} \cdot 12^{10}} = \dfrac{12^3}{4^3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(-10)^4 + (-10)^3 + (-10)^0$.

1. 1
   Чётная степень отрицательного числа положительна, а нечётная степень сохраняет отрицательный знак:$$(-10)^4 = 10000,\quad (-10)^3 = -1000$$
2. 2
   Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице:$$(-10)^0 = 1$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень из дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{384}}{\sqrt{6}}$.

1. 1
   Применим свойство частного арифметических корней.$$\dfrac{\sqrt{384}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{384}{6}}$$
2. 2
   Вычислим частное под знаком корня и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{\dfrac{384}{6}} = \sqrt{64} = 8$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $(0{,}01)^2 \cdot 10^5 : 4^{-2}$.

1. 1
   Представим число $0{,}01$ в виде степени он:$$0{,}01 = 10^{-2}$$
2. 2
   Возведём степень в степень и вычислим произведение:$$(10^{-2})^2 \cdot 10^5 = 10^{-4} \cdot 10^5 = 10$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Упрощение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{12^{12}}{2^{14} \cdot 6^{11}}$.

1. 1
   Разложим числа $12$ и $6$ на простые множители:$$12 = 2^2 \cdot 3,\quad 6 = 2 \cdot 3$$
2. 2
   Преобразуем числитель и знаменатель выражения:$$12^{12} = 2^{24} \cdot 3^{12},\quad 2^{14} \cdot 6^{11} = 2^{14} \cdot 2^{11} \cdot 3^{11}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 24 - \log_2 3$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковыми основаниями:$$\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 \frac{24}{3}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень двойки:$$\log_2 \frac{24}{3} = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{6}27+\log_{6}8$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_{6}27+\log_{6}8=\log_{6}(27\cdot8)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов и представим его как степень числа $6$:$$27\cdot8=216=6^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Умножение арифметических корней

Найдите значение выражения $\sqrt{75} \cdot \sqrt{3}$.

1. 1
   Применим свойство произведения арифметических корней.$$\sqrt{75} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{75 \cdot 3}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{75 \cdot 3} = \sqrt{225} = 15$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_3 1{,}8 + \log_3 135$.

1. 1
   Применяем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_3 1{,}8 + \log_3 135 = \log_3(1{,}8 \cdot 135)$$
2. 2
   Вычисляем произведение аргументов и представляем его в виде степени числа $3$:$$1{,}8 \cdot 135 = 243 = 3^5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{(4\sqrt{2})^2}{16}$.

1. 1
   Раскроем квадрат произведения и возведём корень в квадрат.$$(4\sqrt{2})^2=4^2\cdot(\sqrt{2})^2=16\cdot2=32$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение.$$\dfrac{32}{16}=2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(3^{-3})^2}{3^{-9}}$.

1. 1
   Применяем правило возведения степени в степень:$$(3^{-3})^2 = 3^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{3^{-6}}{3^{-9}} = 3^{-6-(-9)} = 3^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{8}{9} : \dfrac{5}{18} + 1{,}8$.

1. 1
   Заменяем деление на дробь умножением на обратную дробь:$$\dfrac{8}{9} : \dfrac{5}{18} = \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{18}{5}$$
2. 2
   Вычисляем произведение:$$\dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{18}{5} = \dfrac{16}{5} = 3{,}2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}2 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^{-1}}$.

1. 1
   Разделим коэффициенты и степени он:$$\dfrac{1{,}2 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^{-1}} = \dfrac{1{,}2}{4} \cdot 10^{3-(-1)}$$
2. 2
   Вычислим полученное выражение:$$0{,}3 \cdot 10^4 = 3000$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $7^{2\log_7 4}$.

1. 1
   Преобразуем показатель степени по свойству логарифма:$$2\log_7 4=\log_7 4^2$$
2. 2
   Применяем основное свойство логарифма $a^{\log_a b}=b$:$$7^{2\log_7 4}=7^{\log_7 4^2}=4^2=16$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $5^{2\log_5 7}$.

1. 1
   Преобразуем выражение, используя правило возведения степени с логарифмическим показателем:$$5^{2\log_5 7}=\left(5^{\log_5 7}\right)^2$$
2. 2
   Так как $5^{\log_5 7}=7$, получаем:$$7^2=49$$

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\dfrac{4}{5}\sqrt{90}\cdot\sqrt{10}$.

1. 1
   Объединим произведение корней под одним знаком корня.$$\sqrt{90}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{90\cdot10}=\sqrt{900}$$
2. 2
   Вычислим квадратный корень и умножим на дробь.$$\dfrac{4}{5}\sqrt{900}=\dfrac{4}{5}\cdot30=24$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{8^2}{2^2}:2^4$.

1. 1
   Представим число $8$ как степень двойки и упростим дробь:$$\dfrac{8^2}{2^2}=\dfrac{(2^3)^2}{2^2}=2^{6-2}=2^4$$
2. 2
   Выполним деление степеней с одинаковым основанием:$$2^4:2^4=2^{4-4}=2^0=1$$

Произведение арифметических корней

Найдите значение выражения $\sqrt{1{,}2}\cdot\sqrt{30}$.

1. 1
   Объединим произведение арифметических корней в один корень.$$\sqrt{1{,}2}\cdot\sqrt{30}=\sqrt{1{,}2\cdot30}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{1{,}2\cdot30}=\sqrt{36}=6$$