ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Дәрежелер, түбірлер, логарифмдер» — жауаптарымен

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{63}-\sqrt{7}\right)\cdot\sqrt{7}$.

1. 1
   Разложим число $63$ на множители и упростим арифметический корень.$$\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=3\sqrt{7}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним умножение.$$\left(3\sqrt{7}-\sqrt{7}\right)\cdot\sqrt{7}=2\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=2\cdot 7=14$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{2}{5}\sqrt{90}\cdot\sqrt{10}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней.$$\sqrt{90}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{900}$$
2. 2
   Вычислим значение квадратного корня и умножим на дробь.$$\dfrac{2}{5}\sqrt{900}=\dfrac{2}{5}\cdot30=12$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $3^{-2} \cdot \dfrac{3^6}{3^2}$.

1. 1
   Преобразуем частное степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{3^6}{3^2}=3^{6-2}=3^4$$
2. 2
   Перемножаем степени с одинаковым основанием:$$3^{-2}\cdot 3^4=3^{-2+4}=3^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{8^{15} \cdot 2^{13}}{16^{14}}$.

1. 1
   Представим все числа в выражении как степени числа $2$.$$8^{15} = (2^3)^{15} = 2^{45}, \quad 16^{14} = (2^4)^{14} = 2^{56}$$
2. 2
   Применим свойства степеней.$$\dfrac{8^{15} \cdot 2^{13}}{16^{14}} = \dfrac{2^{45} \cdot 2^{13}}{2^{56}} = 2^{45+13-56} = 2^2 = 4$$

Значение произведения степеней

Найдите значение выражения $(5 \cdot 10^3) \cdot (1{,}8 \cdot 10^{-2})$.

1. 1
   Перемножим числовые множители и степени он отдельно.$$(5 \cdot 10^3) \cdot (1{,}8 \cdot 10^{-2}) = (5 \cdot 1{,}8) \cdot 10^{3+(-2)}$$
2. 2
   Вычислим получившееся выражение.$$9 \cdot 10^1 = 90$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\left(-2\frac{1}{8}-\frac{2}{3}\right)\cdot120$.

1. 1
   Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$$-2\frac{1}{8}=-\frac{17}{8}$$
2. 2
   Приведём дроби к общему знаменателю 24:$$-\frac{17}{8}-\frac{2}{3}=-\frac{51}{24}-\frac{16}{24}=-\frac{67}{24}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Упрощение корней

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$.

1. 1
   Используем свойство частного квадратных корней:$$\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{98}{2}}$$
2. 2
   Вычисляем значение под корнем и извлекаем квадратный корень:$$\sqrt{\dfrac{98}{2}} = \sqrt{49} = 7$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_5 50 - \log_5 2$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_5 50 - \log_5 2 = \log_5 \frac{50}{2}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень основания.$$\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{2{,}6 - 8{,}4}{2{,}5}$.

1. 1
   Вычислим числитель дроби:$$2{,}6 - 8{,}4 = -5{,}8$$
2. 2
   Разделим полученное значение на знаменатель:$$\dfrac{-5{,}8}{2{,}5} = -2{,}32$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(7^{-3})^2}{7^{-9}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе по правилу возведения степени в степень.$$(7^{-3})^2 = 7^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$\dfrac{7^{-6}}{7^{-9}} = 7^{-6-(-9)} = 7^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^3}{4^2 \cdot 4^{-1}}$.

1. 1
   Преобразуем произведение степеней в знаменателе:$$4^2 \cdot 4^{-1} = 4^{2+(-1)} = 4^1$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{4^3}{4^1} = 4^{3-1} = 4^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вычисление разности логарифмов

Найдите значение выражения $\log_4 512 - \log_4 2$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковыми основаниями:$$\log_4 512 - \log_4 2 = \log_4 \frac{512}{2}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень основания:$$\log_4 256 = \log_4 4^4 = 4$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{5^{14} \cdot 2^{16}}{10^{13}}$.

1. 1
   Разложим основание десятичной степени на простые множители:$$10^{13} = (2 \cdot 5)^{13} = 2^{13} \cdot 5^{13}$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{5^{14} \cdot 2^{16}}{2^{13} \cdot 5^{13}} = 5^{14-13} \cdot 2^{16-13}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{19}+2)(\sqrt{19}-2)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим.$$(\sqrt{19}+2)(\sqrt{19}-2)=(\sqrt{19})^2-2^2=19-4=15$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{5\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$.

1. 1
   Разложим число $27$ под корнем на множители:$$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим $\sqrt{3}$:$$\dfrac{5\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\dfrac{5\cdot3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=15$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{6} \cdot 0{,}72 + 2$.

1. 1
   Выполним умножение дроби на десятичное число:$$\dfrac{1}{6} \cdot 0{,}72 = 0{,}72 : 6 = 0{,}12$$
2. 2
   Прибавим к полученному результату число $2$:$$0{,}12 + 2 = 2{,}12$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{12^8}{3^7 \cdot 4^6}$.

1. 1
   Представим число $12$ в виде произведения $3 \cdot 4$ и применим формулу степени произведения.$$12^8 = (3 \cdot 4)^8 = 3^8 \cdot 4^8$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями.$$\dfrac{3^8 \cdot 4^8}{3^7 \cdot 4^6} = 3^{8-7} \cdot 4^{8-6} = 3 \cdot 4^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение показательной степени

Найдите значение выражения $7^{4\log_7 3}$.

1. 1
   Применим свойство степени с логарифмом: $a^{k\log_a b}=b^k$.$$7^{4\log_7 3}=3^4$$
2. 2
   Вычислим четвёртую степень числа $3$.$$3^4=81$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^5 \cdot 4^6}{12^5}$.

1. 1
   Разложим числа $4$ и $12$ на простые множители:$$4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}, \quad 12^5 = (2^2 \cdot 3)^5 = 2^{10} \cdot 3^5$$
2. 2
   Подставим полученные выражения и сократим одинаковые множители:$$\dfrac{3^5 \cdot 2^{12}}{2^{10} \cdot 3^5} = 2^{12-10} = 2^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Произведение арифметических корней

Найдите значение выражения $\sqrt{63} \cdot \sqrt{7}$.

1. 1
   Объединим произведение арифметических корней в один корень.$$\sqrt{63}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{63\cdot7}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{63\cdot7}=\sqrt{441}=21$$