Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Изображённый участок имеет форму параллелограмма.
2. 2
   Основание параллелограмма равно одной клетке, то есть $1$ м, а высота равна четырём клеткам, то есть $4$ м.$$S = ah$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка по клеткам

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Площадь одной клетки со стороной $1\ \text{м}$ равна:$$S_1 = 1 \cdot 1 = 1\ \text{м}^2$$
2. 2
   Участок занимает 5 таких клеток. Поэтому его площадь равна:$$S = 5 \cdot 1 = 5\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольник, содержащий участок. Его размеры — $3$ клетки и $6$ клеток.$$S_{\text{прям}} = 3 \cdot 6 = 18$$
2. 2
   Из прямоугольника нужно вычесть треугольник у нижней границы. Его основание равно $3$ клеткам, а высота — $2$ клеткам.$$S_{\text{тр}} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника. По клеткам его вертикальное основание равно $5$ м, а высота равна $5$ м.$$a = 5\ \text{м},\quad h = 5\ \text{м}$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника.$$S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Одна клетка плана соответствует квадрату со стороной $1\ \text{м}$, поэтому площадь одной клетки равна:$$S_1 = 1 \cdot 1 = 1\ \text{м}^2$$
2. 2
   Подсчитываем клетки, занятые участком: их 18.$$S = 18 \cdot 1 = 18\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Изображённый участок имеет форму треугольника. По клеткам его вертикальное основание равно $4$ м, а перпендикулярная высота — $5$ м.$$a=4\ \text{м},\quad h=5\ \text{м}$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника:$$S=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot5=10\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Разобьём участок на два треугольника и прямоугольник. Основание каждой части равно 3 клеткам.
2. 2
   Площадь верхнего треугольника:$$S_1=\frac{1}{2}\cdot3\cdot6=9$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Площадь заштрихованной фигуры

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 20. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

1. 1
   По клеткам видно, что радиус большого круга в 5 раз больше радиуса внутреннего круга.$$R=5r$$
2. 2
   Площадь большого круга в 25 раз больше площади внутреннего круга.$$S_{\text{большого}}=\pi R^2=25\pi r^2=25S_{\text{внутреннего}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму параллелограмма.$$S = ah$$
2. 2
   По клеткам определяем основание и высоту: $a = 3\ \text{м}$, $h = 3\ \text{м}$.$$S = 3 \cdot 3 = 9\ \text{м}^2$$

Площадь кольца по клеткам

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 25. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

1. 1
   По рисунку радиус внешнего круга в 2 раза больше радиуса внутреннего круга.$$R=2r$$
2. 2
   Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, поэтому площадь внешнего круга в 4 раза больше площади внутреннего.$$S_{\text{внеш}}=\frac{R^2}{r^2}S_{\text{внут}}=4\cdot25=100$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Выделенный участок имеет форму трапеции. По клеткам определяем длины её оснований и высоту:$$a = 2\ \text{м},\quad b = 4\ \text{м},\quad h = 3\ \text{м}$$
2. 2
   Вычисляем площадь трапеции:$$S = \dfrac{(2+4)\cdot 3}{2} = 9\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По клеткам определяем векторы диагоналей участка: одна диагональ имеет приращения $(1; 7)$, другая — $(7; -1)$.
2. 2
   Диагонали перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно $1 \cdot 7 + 7 \cdot (-1) = 0$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника. Его вертикальное основание занимает 3 клетки, то есть имеет длину 3 м.$$a = 3\ \text{м}$$
2. 2
   Расстояние от основания до противоположной вершины по горизонтали равно 6 клеткам, то есть 6 м.$$h = 6\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\,\text{м} \times 1\,\text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Изображённый участок имеет форму параллелограмма.
2. 2
   По клеткам определяем длину основания и высоту: $a = 4$ м, $h = 2$ м.$$S = ah = 4 \cdot 2 = 8\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Изображённый участок имеет форму трапеции. Её параллельные стороны расположены вертикально.$$a=3\ \text{м},\quad b=6\ \text{м},\quad h=4\ \text{м}$$
2. 2
   Применяем формулу площади трапеции:$$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h=\dfrac{3+6}{2}\cdot4=18\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $10\,\text{м} \times 10\,\text{м}$. Найдите площадь участка, выделенного на плане, в квадратных метрах.

1. 1
   Выделенный участок имеет форму треугольника. Его основание занимает 4 клетки, а высота равна 6 клеткам.$$S_{\text{кл}}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot6=12$$
2. 2
   Площадь одной клетки равна:$$10\cdot10=100\,\text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника.
2. 2
   По клеткам на плане его основание равно 8 м, а высота — 5 м.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По клеткам определяем длины оснований участка: верхнее основание равно $8$ м, нижнее — $5$ м, высота — $4$ м.$$a=8,\quad b=5,\quad h=4$$
2. 2
   Площадь участка вычисляем как площадь трапеции.$$S=\dfrac{a+b}{2}h=\dfrac{8+5}{2}\cdot4=26$$

Площадь заштрихованного кольца

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 23. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

1. 1
   По клетчатой бумаге видно, что радиус внешнего круга в 2 раза больше радиуса внутреннего.$$R = 2r$$
2. 2
   Тогда площадь внешнего круга в 4 раза больше площади внутреннего круга.$$S_{\text{внеш}} = \pi R^2 = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2 = 4S_{\text{внутр}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат со стороной 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Площадь одной клетки со стороной 1 м равна:$$S_1 = 1 \cdot 1 = 1\ \text{м}^2$$
2. 2
   Участок занимает 24 клетки. Поэтому его площадь равна:$$S = 24 \cdot 1 = 24\ \text{м}^2$$