Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Натуральные числа и делимость» — с ответами

Провода между столбами

Девять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими девятью столбами?

1. 1
   Если сложить количество проводов, отходящих от всех девяти столбов, получим $9 \cdot 6 = 54$.
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 69. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На каждом этаже расположено 6 квартир. Определим, сколько этажей нужно для размещения квартир с номерами от 1 до 69.$$\left\lceil \dfrac{69}{6} \right\rceil$$
2. 2
   Так как после 11 этажей размещаются 66 квартир, квартиры № 67–72 находятся на 12-м этаже. Значит, квартира № 69 расположена на 12-м этаже.$$69 = 6 \cdot 11 + 3$$

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Тамара, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Тамара живёт в квартире № 85. В каком подъезде живёт Тамара?

1. 1
   Определим количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 3 = 27$$
2. 2
   Первые три подъезда содержат $3 \cdot 27 = 81$ квартиру. Квартира № 85 находится в диапазоне от 82 до 108, который соответствует четвёртому подъезду.$$81 < 85 \leqslant 108$$

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $e$, число квартир на этаже — через $a$, а число этажей — через $f$. Общее число квартир равно произведению этих чисел:$$eaf=105$$
2. 2
   По условию числа должны удовлетворять неравенствам $f>a>e>1$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? Во всех…

1. 1
   Пусть на каждом этаже находится $n$ квартир. Тогда в одном семиэтажном подъезде находится $7n$ квартир.
2. 2
   Перед седьмым подъездом расположены шесть подъездов, поэтому первый номер квартиры в седьмом подъезде равен $42n+1$. Так как квартира № $462$ находится в седьмом подъезде, выполняется неравенство $42n<462\leq49n$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Средний угол трёх лучей

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 3 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…

1. 1
   Обозначим наименьший угол через $a$, средний — через $b$, а наибольший — через $3a$. Сумма углов, образованных тремя лучами, равна $360^\circ$.$$a+b+3a=360$$
2. 2
   Выразим средний угол:$$b=360-4a$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $p$, число квартир на этаже через $k$, а число этажей в доме через $h$. Тогда общее число квартир равно $p \cdot k \cdot h = 255$.
2. 2
   Разложим число $255$ на простые множители:$$255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 5 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее количество проводов, отходящих от всех столбов. Каждый из восьми столбов имеет по пять проводов.$$8 \cdot 5 = 40$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$40 : 2 = 20$$

Этаж по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 49. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На каждом этаже расположено 6 квартир. Первые 48 квартир занимают 8 этажей:$$48 : 6 = 8$$
2. 2
   Квартира № 49 находится на следующем, девятом этаже.$$49 = 8 \cdot 6 + 1$$

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее число концов проводов, отходящих от всех столбов.$$10 \cdot 7 = 70$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$70 : 2 = 35$$

Количество строк таблицы

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 125, во втором — 97, в третьем — 71, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$125+97+71=293$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 23 и меньшее 26. Следовательно, она равна 24 или 25.

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество груздей в корзине

В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

1. 1
   Если бы груздей было не менее 28, можно было бы выбрать 28 груздей, среди которых нет ни одного рыжика. Поэтому груздей не больше 27.$$g \leq 27$$
2. 2
   Если бы рыжиков было не менее 24, можно было бы выбрать 24 рыжика, среди которых нет ни одного груздя. Поэтому рыжиков не больше 23.$$r \leq 23$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по пять квартир. Петя живёт в квартире № 32. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На первом этаже находятся квартиры с номерами от 1 до 5, на втором — от 6 до 10 и так далее.
2. 2
   Определим номер этажа для квартиры № 32:$$\left\lceil\frac{32}{5}\right\rceil = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Натуральные числа и уравнение

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 4 и меньшие 8, каждое из них принимает одно из значений $5$, $6$ или $7$.$$A,B,C\in\{5,6,7\}$$
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение.$$Ax+B-C=417$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 55 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 20 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Расположим точку А на окружности. Точка В находится на расстоянии 50 км от А, а точка Г — на расстоянии 20 км от А по противоположной дуге. Тогда расстояние между В и Г равно сумме этих дуг и составляет 70 км по одной из дуг.$$50 + 20 = 70$$
2. 2
   Так как кратчайшее расстояние между В и Г равно 40 км, длина окружности равна сумме двух дуг.$$L = 70 + 40 = 110$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На…

1. 1
   Пусть на каждом этаже находится $n$ квартир. Тогда в одном подъезде $12n$ квартир. Квартира № 468 находится в восьмом подъезде, поэтому первые семь подъездов содержат меньше 468 квартир, а первые восемь — не меньше 468.$$7 \cdot 12n < 468 \leq 8 \cdot 12n$$
2. 2
   Следовательно, число квартир на этаже удовлетворяет неравенству $58{,}5 \leq n < 66{,}86$. Так как число квартир в подъезде $12n$, получаем целое значение $n=5$.$$12n \in (420;480],\quad n=5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже в любом подъезде одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $a$, число этажей в одном подъезде через $b$, а число квартир на этаже через $c$. Тогда общее число квартир равно:$$abc = 345$$
2. 2
   Разложим число 345 на простые множители:$$345 = 3 \cdot 5 \cdot 23$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Прыжки кузнечика по прямой

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 12 прыжков кузнечик может оказаться в точках от $-12$ до $12$.
2. 2
   Так как число прыжков чётное, конечная координата должна быть чётной. Возможные координаты: $-12, -10, \ldots, 10, 12$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество груздей в корзине

В корзине лежит 35 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 18 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 19 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

1. 1
   Из условия о любых 18 грибах следует, что груздей не может быть 18 или больше: иначе можно было бы выбрать 18 груздей без рыжика. Поэтому груздей не больше 17.$$G \leqslant 17$$
2. 2
   Из условия о любых 19 грибах следует, что рыжиков не может быть 19 или больше: иначе можно было бы выбрать 19 рыжиков без груздя. Значит, рыжиков не больше 18.$$R \leqslant 18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Прыжки кузнечика по прямой

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 10 прыжков координата может находиться от $-10$ до $10$.
2. 2
   Так как число прыжков чётное, конечная координата должна быть чётной: $-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10$.

Ещё 1 шаг — в полном решении