ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Теңсіздіктер және жүйелер» — жауаптарымен

Сәйкестік выражений и отрезков

На координатной прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   По отметке на координатной прямой число $m$ находится между $2$ и $3$.
2. 2
   Для выражения $4-m$ получаем $1<4-m<2$, поэтому оно принадлежит отрезку $[1;2]$, то есть ему соответствует номер 2.$$1<4-m<2$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Сәйкестік выражений отрезкам

На координатной прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого…

1. 1
   По координатной прямой число $m$ находится между $1$ и $2$.
2. 2
   Для выражения $6-m$ имеем $4<6-m<5$, поэтому ему соответствует отрезок $[4;5]$, то есть номер 4.$$6-m\in[4;5]$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Логарифмические неравенства

Каждому из четырёх неравенств соответствует одно из решений. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Так как основание логарифма $4>1$, функция $\log_{4}x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.$$x>0$$
2. 2
   Для неравенства А получаем $x>4^1=4$, то есть Шешім $(4;+\infty)$.$$\log_4 x>1\Longleftrightarrow x>4$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Сәйкестік шешімдер неравенств

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Решим неравенство А. Представим правую часть как степень двойки и сравним показатели:$$2^{-x+1}<2^{-1}\Rightarrow -x+1<-1\Rightarrow x>2$$
2. 2
   Решим неравенство Б методом интервалов. Числитель равен нулю при $x=5$, знаменатель — при $x=4$. Дробь отрицательна при $x<4$.$$\dfrac{(x-5)^2}{x-4}<0\Rightarrow x<4$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Сәйкестік неравенств и шешімдер

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для каждого неравенства нужно найти множество решений и сопоставить его с одним из четырёх вариантов справа.
2. 2
   По проверенному ключу соответствия для неравенств А, Б, В и Г равны соответственно 3, 1, 4 и 2.

Сәйкестік неравенств и шешімдер

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Решим неравенство А. Так как основание логарифма $4>1$, функция возрастает: $\log_4 x>0$ тогда и только тогда, когда $x>4^0$.$$x>1$$
2. 2
   Решим неравенство Б. Представим $16$ как степень числа $4$ и сравним показатели.$$4^{-x+7}>4^2 \Longrightarrow -x+7>2 \Longrightarrow x<5$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Сәйкестік чисел на прямой

На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   По рисунку число $m$ расположено между $0$ и $1$, причём $m=\dfrac{1}{4}$.
2. 2
   Вычислим значение первого выражения:$$m-1=\dfrac{1}{4}-1=-\dfrac{3}{4}$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Сәйкестік неравенств и шешімдер

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для каждого неравенства определяем критические точки и исследуем знак выражения на промежутках.
2. 2
   Неравенство А имеет Шешім на промежутке между корнями $1$ и $3$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Сравнение иррациональных чисел

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Оценим первое выражение:$$\sqrt{7}+\sqrt{3}\approx2{,}65+1{,}73=4{,}38$$
2. 2
   Оценим второе выражение:$$\sqrt{7}\cdot2\sqrt{3}=2\sqrt{21}\approx9{,}17$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Сәйкестік чисел и отрезков

Число $m$ равно $\sqrt{2}$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Так как $m = \sqrt{2}$ и $1 < \sqrt{2} < 2$, получаем:$$m - 2 = \sqrt{2} - 2 \in [-1;0]$$
2. 2
   Прибавляем единицу к числу $m$:$$m + 1 = \sqrt{2} + 1 \in [2;3]$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Логарифмические неравенства

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Так как основание логарифма $3>1$, функция $\log_3 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.$$\log_3 x > a \Longleftrightarrow x>3^a,\qquad \log_3 x<a \Longleftrightarrow 0<x<3^a$$
2. 2
   Для неравенства А:$$\log_3 x>1 \Longleftrightarrow x>3$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Сәйкестік шешімдер неравенств

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А найдём корни: $x^2+8x+15=(x+5)(x+3)$. Так как старший коэффициент положителен и требуется значение не меньше нуля, решение состоит из внешних промежутков.$$x\in(-\infty;-5]\cup[-3;+\infty)$$
2. 2
   Для неравенства Б: $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$. При знаке «$\ge 0$» берём внешние промежутки.$$x\in(-\infty;3]\cup[5;+\infty)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Шешімдер рациональных неравенств

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А нули выражения находятся в точках $x=2$ и $x=4$. Корень $x=2$ имеет чётную кратность, поэтому знак при переходе через него не меняется. Выражение отрицательно при $x<4$, но точки $2$ и $4$ не входят в решение.$$x\in(-\infty;2)\cup(2;4)$$
2. 2
   В неравенстве Б числитель $(x-4)^2$ положителен, кроме точки $x=4$, а знаменатель положителен при $x>2$. Поэтому выражение положительно при $x>2$, за исключением $x=4$.$$x\in(2;4)\cup(4;+\infty)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сәйкестік шешімдер неравенств

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Решим неравенство А. Область определения: $x>3$. Так как основание логарифма $3>1$, имеем $x-3<3$, откуда $3<x<6$.$$\log_3(x-3)<1\Longleftrightarrow 0<x-3<3\Longleftrightarrow 3<x<6$$
2. 2
   Решим неравенство Б. Представим правую часть как степень пятёрки. При основании $5>1$ сравниваем показатели: $-x+2>-1$, откуда $x<3$.$$5^{-x+2}>\frac{1}{5}=5^{-1}\Longleftrightarrow -x+2>-1\Longleftrightarrow x<3$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Сәйкестік шешімдер неравенств

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Разложим выражение в неравенстве А на множители. Корни равны $2$ и $4$. Так как ветви параболы направлены вверх, выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4),\quad x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$$
2. 2
   Для неравенства Б корни равны $-1$ и $8$. Требуется, чтобы выражение было неположительным, поэтому берём промежуток между корнями.$$x^2 - 7x - 8 = (x + 1)(x - 8),\quad x \in [-1; 8]$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сәйкестік чисел и точек

На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел, приведённых в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и…

1. 1
   По координатной прямой определяем значение отмеченного числа:$$m=-2{,}5$$
2. 2
   Вычисляем значение первого выражения:$$\dfrac{m}{10}=\dfrac{-2{,}5}{10}=-0{,}25$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Сәйкестік неравенств и шешімдер

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А найдём корни трёхчлена:$$x^2 + 7x - 30 = (x + 10)(x - 3)$$
2. 2
   Так как старший коэффициент положительный, выражение не больше нуля между корнями:$$x \in [-10; 3]$$

Ещё 6 қадам — толық шешімде

Сәйкестік чисел и отрезков

На координатной прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   По координатной прямой видно, что $m$ примерно равно $1{,}8$.
2. 2
   Вычислим первое выражение: $\sqrt{m}\approx\sqrt{1{,}8}\approx1{,}34$, поэтому оно принадлежит отрезку $[1;2]$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Шешімдер рациональных неравенств

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А критические точки — $3$ и $4$. Произведение отрицательно между корнями.
2. 2
   Для неравенства Б числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки. Точки $x=3$ и $x=4$ не входят в решение.$$\dfrac{x-3}{x-4}>0 \Longrightarrow x<3 \text{ или } x>4$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сәйкестік неравенств и шешімдер

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А найдём корни уравнения $x^2 + 11x - 12 = 0$: $x_1 = -12$, $x_2 = 1$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, решение неравенства имеет вид промежутка между корнями: $[-12; 1]$. Соответствие: А—2.$$x^2 + 11x - 12 = (x + 12)(x - 1)$$
2. 2
   Для неравенства Б корни равны $-1$ и $12$. Шешімі: $[-1; 12]$. Сәйкестік: Б—1.$$x^2 - 11x - 12 = (x + 1)(x - 12)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде