Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Пользуясь графиком, установите соответствие между каждой точкой и значением…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.
2. 2
   В точке $A$ касательная убывает достаточно круто, поэтому производная равна $-3$ — значение 4.

Ещё 3 шага — в полном решении

Крутящий момент двигателя

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси — крутящий момент в Н · м…

1. 1
   На интервале 1000–3000 об/мин график поднимается, поэтому крутящий момент растёт.
2. 2
   На интервале 3000–3500 об/мин график горизонтален, поэтому крутящий момент не меняется.

Ещё 2 шага — в полном решении

Характеристики функций

Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций.

1. 1
   Функция А — квадратичная, коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх и функция имеет точку минимума.$$А \rightarrow 4$$
2. 2
   Функция Б — линейная, коэффициент при $x$ равен $10 > 0$, поэтому функция возрастает.$$Б \rightarrow 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угловые коэффициенты прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

1. 1
   Для прямой $y = kx + b$ угловой коэффициент $k$ показывает направление и крутизну наклона графика.$$k>0 \Rightarrow \text{прямая возрастает};\quad k<0 \Rightarrow \text{прямая убывает}$$
2. 2
   График А возрастает полого, поэтому ему соответствует небольшое положительное значение $0{,}4$.$$А \to 1$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Производная по графику

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   В точке $A$ касательная убывает наиболее круто, поэтому $f'(A)=-1,5$, то есть номер 2.

Ещё 3 шага — в полном решении

Знаки коэффициентов линейной функции

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$.

1. 1
   Для функции $y = kx + b$ знак коэффициента $k$ определяют по наклону прямой: возрастающая прямая имеет $k > 0$, убывающая — $k < 0$.$$y = kx + b$$
2. 2
   Знак коэффициента $b$ определяют по точке пересечения графика с осью $y$: выше начала координат — $b > 0$, ниже — $b < 0$.$$b = y(0)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Производная по графику касательной

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. В правом столбце указаны значения производной функции в этих точках. Пользуясь…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   В точке $A$ касательная направлена вниз и имеет самый крутой отрицательный наклон, поэтому $f'(A)=-2$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Атмосферное давление в четверг

На рисунке показано изменение атмосферного давления в течение трёх суток. По горизонтали указаны дни недели и время, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба…

1. 1
   На горизонтальной оси находим отметку «четверг, 12:00».
2. 2
   По графику определяем значение атмосферного давления в этой точке: 751 мм ртутного столба.$$p = 751$$

Знаки коэффициентов прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$.

1. 1
   Если прямая убывает слева направо, то $k < 0$; если возрастает, то $k > 0$.
2. 2
   Знак $b$ определяем по точке пересечения графика с осью $y$: выше начала координат — $b > 0$, ниже — $b < 0$.

Ещё 4 шага — в полном решении

Знаки коэффициентов параболы

На рисунках изображены графики функций вида $y=ax^2+bx+c$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c$.

1. 1
   Коэффициент $a$ определяем по направлению ветвей параболы: при $a<0$ ветви направлены вниз, при $a>0$ — вверх.$$a<0 \Rightarrow \text{ветви вниз};\quad a>0 \Rightarrow \text{ветви вверх}$$
2. 2
   Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, то есть координате точки пересечения графика с осью $Oy$.$$c=f(0)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Скорость погружения батискафа

На графике изображена зависимость скорости погружения батискафа от времени. На вертикальной оси отмечена скорость (в м/с), на горизонтальной — время (в секундах), прошедшее с начала погружения…

1. 1
   На интервале А (60–150 с) график достигает наибольшего за всё время значения скорости — 0,5 м/с.
2. 2
   На интервале Б (150–180 с) скорость уменьшается, но остаётся положительной, поэтому остановки батискафа нет.

Ещё 2 шага — в полном решении

Угловые коэффициенты прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

1. 1
   У возрастающих прямых угловой коэффициент положительный, а у убывающих — отрицательный.$$k>0\text{ — функция возрастает};\quad k<0\text{ — функция убывает}$$
2. 2
   Графики А и Г возрастают. Прямая А значительно круче, поэтому ей соответствует коэффициент $5$, а пологой прямой Г — коэффициент $0{,}2$.$$k_{\text{А}}=5,\quad k_{\text{Г}}=0{,}2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Графики функций и производных

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

1. 1
   У графика функции А есть минимум. До точки минимума функция убывает, после неё возрастает, поэтому производная отрицательна слева и положительна справа. График производной имеет положительный наклон и пересекает ось $Oy$ ниже начала…$$f'(x): - \to 0 \to +$$
2. 2
   У графика функции Б есть максимум. До максимума функция возрастает, после него убывает, поэтому производная положительна слева и отрицательна справа. Подходит прямая с отрицательным наклоном, пересекающая ось $Oy$ выше начала координат.$$f'(x): + \to 0 \to -$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Графики функций и производных

Установите соответствие между графиками линейных функций и графиками их производных.

1. 1
   Производная линейной функции $y = kx + b$ постоянна и равна её угловому коэффициенту.$$y' = k$$
2. 2
   У графика А наклон отрицательный и по модулю самый большой, поэтому ему соответствует горизонтальная прямая с большим отрицательным значением производной — график 3.$$k_A < 0,\quad |k_A|\text{ — наибольшее}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Производная по графику

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.
2. 2
   В точке $A$ касательная имеет положительный и большой наклон, поэтому $f'(A)=2$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Угловые коэффициенты прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

1. 1
   Угловой коэффициент прямой определяет её наклон: при возрастании графика коэффициент положителен, при убывании — отрицателен.$$k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
2. 2
   График А имеет самый большой положительный наклон, поэтому ему соответствует коэффициент $\dfrac{5}{3}$ — номер 4.$$А \to 4$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Производная линейной функции

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке $x = 1$.

1. 1
   Для функции $y = kx + b$ производная в любой точке равна угловому коэффициенту прямой:$$y'(x)=k$$
2. 2
   По наклону графика А видно, что при увеличении $x$ на 5 единиц значение $y$ увеличивается на 2 единицы, поэтому $k=\dfrac{2}{5}=0,4$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Угловые коэффициенты прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

1. 1
   Для прямой $y = kx + b$ угловой коэффициент положителен, если график возрастает, и отрицателен, если график убывает.
2. 2
   График А возрастает с наклоном меньше единицы, поэтому ему соответствует $k=0{,}8$, то есть номер 4.

Ещё 3 шага — в полном решении

Знаки коэффициентов прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$.

1. 1
   В функции $y = kx + b$ знак коэффициента $k$ определяется наклоном прямой: при возрастании графика $k > 0$, при убывании $k < 0$.$$k > 0 \text{ — прямая возрастает};\quad k < 0 \text{ — прямая убывает}$$
2. 2
   Знак коэффициента $b$ определяется положением точки пересечения графика с осью $y$: выше начала координат $b > 0$, ниже начала координат $b < 0$.$$b = y(0)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Знаки коэффициентов параболы

На рисунках изображены графики функций вида $y=ax^2+bx+c$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c$.

1. 1
   В функции $y=ax^2+bx+c$ знак коэффициента $a$ определяется направлением ветвей параболы: при $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз.$$a>0 \Rightarrow \text{ветви вверх};\quad a<0 \Rightarrow \text{ветви вниз}$$
2. 2
   Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, поэтому его знак определяется положением точки пересечения графика с осью $Oy$.$$c=y(0)$$

Ещё 4 шага — в полном решении