Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, а $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$10 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot d_2 \cdot \frac{5}{7}$$
2. 2
   Упростим выражение:$$10 = \frac{10}{7}d_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по формуле

Площадь трапеции можно вычислить по формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь трапеции $S$, если $a = 4$…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади трапеции:$$S = \dfrac{4+6}{2} \cdot 8$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$S = \dfrac{10}{2} \cdot 8 = 5 \cdot 8 = 40$$

Расчёт сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$R = \dfrac{15{,}75}{1{,}5^2} = \dfrac{15{,}75}{2{,}25} = 7$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 5…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{5+12+13}{2} = 15$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт работы тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = \dfrac{U^2t}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу:$$A = \dfrac{8^2 \cdot 9}{12}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$A = \dfrac{64 \cdot 9}{12} = 48$$

Косинус острого угла

Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{19}}{10}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

1. 1
   По основному тригонометрическому тождеству найдём квадрат косинуса:$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{19}}{10}\right)^2 = 1 - \dfrac{19}{100} = \dfrac{81}{100}$$
2. 2
   Угол $\alpha$ острый, поэтому его косинус положителен:$$\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{81}{100}} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$$

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из теоремы синусов.$$a = \dfrac{b \sin \alpha}{\sin \beta}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$a = \dfrac{12 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{5}} = \dfrac{2}{\frac{1}{5}} = 10$$

Косинус угла треугольника

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos\gamma = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим данные в теорему косинусов.$$\cos\gamma = \frac{5^2+8^2-11^2}{2\cdot5\cdot8}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos\gamma = \frac{25+64-121}{80} = \frac{-32}{80}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Работа постоянного тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = \dfrac{U^2t}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $U = 10$, $t = 3$ и $R = 12$:$$A = \dfrac{10^2 \cdot 3}{12}$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$A = \dfrac{100 \cdot 3}{12} = \dfrac{300}{12} = 25$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если…

1. 1
   Подставим заданные значения сторон в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{7})^2 - 2^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3 + 2 \cdot 7 - 4}}{2} = \dfrac{\sqrt{16}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим $b$ из формулы площади треугольника.$$b = \dfrac{4RS}{ac}$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим.$$b = \dfrac{4 \cdot \frac{65}{8} \cdot 24}{13 \cdot 15} = \dfrac{780}{195} = 4$$

Сумма углов многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $\Sigma = (n - 2)\pi$, где $n$ — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 18\pi$.

1. 1
   Подставим значение суммы углов в формулу:$$18\pi = (n - 2)\pi$$
2. 2
   Сократим обе части на $\pi$ и найдём $n$:$$18 = n - 2, \quad n = 20$$

Перевод температуры по шкалам

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим в формулу значение температуры по шкале Цельсия: $t_C = 30$.$$t_F = 1{,}8 \cdot 30 + 32$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$t_F = 54 + 32 = 86$$

Работа постоянного тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = I^2Rt$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите $A$…

1. 1
   Подставим данные в формулу работы постоянного тока.$$A = I^2Rt = 4^2 \cdot 2 \cdot 10$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$A = 16 \cdot 2 \cdot 10 = 320$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{11}$, $9$ и $10$.

1. 1
   Подставим числа $\sqrt{11}$, $9$ и $10$ в формулу среднего квадратичного.$$q=\sqrt{\dfrac{(\sqrt{11})^2+9^2+10^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и упростим выражение.$$q=\sqrt{\dfrac{11+81+100}{3}}=\sqrt{64}=8$$

Перевод температуры по шкалам

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 131$ в формулу перевода температуры.$$t_C = \dfrac{5}{9}(131 - 32)$$
2. 2
   Вычислим разность и сократим выражение.$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot 99 = 55$$

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = -1$ в формулу перевода температуры:$$t_F = 1{,}8 \cdot (-1) + 32$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$t_F = -1{,}8 + 32 = 30{,}2$$

Нахождение сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если $P = 96$ Вт…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности постоянного тока.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения мощности и силы тока.$$R = \dfrac{96}{4^2} = \dfrac{96}{16} = 6$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2$, $3$ и $\sqrt{14}$.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу:$$q = \sqrt{\dfrac{2^2 + 3^2 + (\sqrt{14})^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим сумму квадратов:$$q = \sqrt{\dfrac{4 + 9 + 14}{3}} = \sqrt{9}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$5 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot d_2 \cdot \frac{1}{11}$$
2. 2
   Упростим выражение:$$5 = \frac{5d_2}{11}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении