Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Найти косинус угла

Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

1. 1
   Применим основное тригонометрическое тождество:$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
2. 2
   Подставим значение синуса и найдём квадрат косинуса:$$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние по числу шагов

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 70$…

1. 1
   Переведём длину шага из сантиметров в метры:$$l = 70\text{ см} = 0{,}7\text{ м}$$
2. 2
   Подставим значения в формулу расстояния:$$s = nl = 1800 \cdot 0{,}7 = 1260\text{ м}$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 25…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{25+51+74}{2} = 75$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{75(75-25)(75-51)(75-74)} = \sqrt{75 \cdot 50 \cdot 24 \cdot 1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$4 = \dfrac{1}{2}d_1 \cdot 7 \cdot \dfrac{2}{7}$$
2. 2
   Сократим множители и найдём длину диагонали.$$4 = d_1$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{4}$…

1. 1
   Найдём обратные величины заданных чисел:$$\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4,\quad \dfrac{1}{\frac{1}{5}}=5,\quad \dfrac{1}{1}=1$$
2. 2
   Подставим значения в формулу среднего гармонического:$$h=\left(\dfrac{4+5+1}{3}\right)^{-1}=\left(\dfrac{10}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{10}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим значения катетов и гипотенузы в формулу радиуса.$$r = \dfrac{32+255-257}{2}$$
2. 2
   Вычислим числитель и разделим результат на 2.$$r = \dfrac{30}{2} = 15$$

Перевод температуры по шкалам

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 86$ в формулу перевода температуры:$$t_C = \dfrac{5}{9}(86 - 32)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot 54 = 30$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{17}$, $7$ и $9$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q=\sqrt{\dfrac{(\sqrt{17})^2+7^2+9^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим сумму квадратов:$$q=\sqrt{\dfrac{17+49+81}{3}}=\sqrt{49}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 42}{6 \cdot 20} = \dfrac{84}{120} = 0{,}7$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $c$, если $a = 8$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $a = 8$, $b = 15$ и $r = 3$.$$3 = \dfrac{8+15-c}{2}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на $2$ и выразим гипотенузу.$$6 = 23-c, \quad c = 23-6 = 17$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2$, $\sqrt{7}$ и $4$.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего квадратичного:$$q=\sqrt{\dfrac{2^2+(\sqrt{7})^2+4^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и упростим выражение:$$q=\sqrt{\dfrac{4+7+16}{3}}=\sqrt{9}=3$$

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если $R = 7$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $I = 2$ и $R = 7$.$$P = 2^2 \cdot 7$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = 4 \cdot 7 = 28$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим в формулу значения катетов и гипотенузы:$$r = \dfrac{21+220-221}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$r = \dfrac{20}{2} = 10$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\dfrac{\frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{1}{4}} + \frac{1}{\frac{1}{5}}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и среднее арифметическое:$$h = \left(\dfrac{3 + 4 + 5}{3}\right)^{-1} = 4^{-1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{CU^2}{2}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите…

1. 1
   Подставим в формулу значения ёмкости и разности потенциалов:$$W = \dfrac{CU^2}{2} = \dfrac{2 \cdot 10^{-4} \cdot 5^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение энергии:$$W = \dfrac{2 \cdot 10^{-4} \cdot 25}{2} = 25 \cdot 10^{-4} = 2{,}5 \cdot 10^{-3}$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2$, $2\sqrt{2}$ и $6$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного.$$q = \sqrt{\dfrac{2^2 + (2\sqrt{2})^2 + 6^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и значение под корнем.$$q = \sqrt{\dfrac{4 + 8 + 36}{3}} = \sqrt{16} = 4$$

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 124$ в формулу перевода температуры.$$t_F = 1{,}8 \cdot 124 + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$t_F = 223{,}2 + 32 = 255{,}2$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{2}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического. Их обратные величины равны $2$, $11$ и $17$.$$h = \left(\dfrac{2+11+17}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения в скобках и возьмём обратное число.$$h = \left(\dfrac{30}{3}\right)^{-1} = 10^{-1} = 0{,}1$$

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади:$$S = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{13 \cdot 40 \cdot 51}{4 \cdot \frac{85}{2}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби:$$S = \dfrac{26520}{170} = 156$$

Нахождение массы по силе

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила (в ньютонах), действующая на тело, $m$ — его масса (в килограммах), $a$ — ускорение (в м/с^2), с которым движется тело. Найдите…

1. 1
   Выразим массу из формулы второго закона Ньютона.$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и ускорения.$$m = \dfrac{161}{23} = 7$$