Клетки таблицы $4 \times 7$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 26 пар соседних клеток разного цвета и 9 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…
- 1
Число горизонтальных пар соседних клеток равно $4 \cdot 6 = 24$, а число вертикальных пар — $7 \cdot 3 = 21$.$$N = 4 \cdot (7 - 1) + 7 \cdot (4 - 1) = 24 + 21 = 45$$
- 2
Все пары соседних клеток делятся на пары разного цвета, пары чёрных клеток и пары белых клеток.$$N_{\text{белых}} = 45 - 26 - 9 = 10$$
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 125, во втором — 97, в третьем — 71, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$125+97+71=293$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 23 и меньшее 26. Следовательно, она равна 24 или 25.
Ещё 2 шага — в полном решении
Маша и Медведь съели 85 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре…
- 1
Пусть Маша ест со скоростью $v$, а Медведь — со скоростью $4v$. Пусть всё время еды равно $t$, а Маша ела варенье в течение времени $\tau$.
- 2
Маша съела варенья $v\tau$, а Медведь — $4v(t-\tau)$. По условию эти количества равны:$$v\tau = 4v(t-\tau)$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 12 поперечных распилов, в итоге получилось 22 куска. Сколько досок взяли?
- 1
Пусть взяли $x$ досок. До распиливания было $x$ кусков.
- 2
Каждый распил увеличивает число кусков на один, поэтому после 12 распилов стало $x + 12$ кусков.$$x + 12 = 22$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
- 1
Если бы груздей было не менее 28, можно было бы выбрать 28 груздей, среди которых нет ни одного рыжика. Поэтому груздей не больше 27.$$g \leq 27$$
- 2
Если бы рыжиков было не менее 24, можно было бы выбрать 24 рыжика, среди которых нет ни одного груздя. Поэтому рыжиков не больше 23.$$r \leq 23$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?
- 1
Если посчитать все провода, отходящие от столбов, каждый провод будет учтён два раза — по одному разу у каждого из двух соединённых столбов.$$8 \cdot 7$$
- 2
Делим полученную сумму на два, чтобы получить число проводов.$$\dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28$$
На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 70 км, между А и В — 60 км, между В и Г — 35 км, между Г и А — 45 км (все расстояния измеряются вдоль…
- 1
Обозначим длину кольцевой дороги через $L$. Отложим от точки А дугу до точки В длиной $60$ км, а до точки Г — в противоположном направлении дугу длиной $45$ км. Тогда дуга от В до Г через противоположную часть кольца имеет длину…$$L-105=35$$
- 2
Находим длину кольцевой дороги:$$L=35+105=140$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 137, во втором — 160, в третьем — 185, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$137 + 160 + 185 = 482$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 24 и меньшее 27. Поэтому она может быть равна только 25 или 26.
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по пять квартир. Петя живёт в квартире № 32. На каком этаже живёт Петя?
- 1
На первом этаже находятся квартиры с номерами от 1 до 5, на втором — от 6 до 10 и так далее.
- 2
Определим номер этажа для квартиры № 32:$$\left\lceil\frac{32}{5}\right\rceil = 7$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с двумя. Сколько всего было подписано договоров?
- 1
Посчитаем суммарное количество договоров, заключённых всеми странами: четыре страны подписали по пять договоров, а шесть стран — по два договора.$$4 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 32$$
- 2
Каждый договор заключён двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$N = \dfrac{32}{2} = 16$$
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 17, 15 и 18. Найдите периметр…
- 1
Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$. Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке имеют вид:$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$
- 2
В сумме $P_1+P_3$ каждое из измерений $a$, $b$, $c$, $d$ встречается один раз. То же самое верно для суммы $P_2+P_4$. Поэтому $P_1+P_3=P_2+P_4$.$$P_4=P_1+P_3-P_2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 7 и 11. Найдите…
- 1
Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$. Тогда периметры четырёх прямоугольников равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.
- 2
Сумма периметров прямоугольников, расположенных по одной диагонали, равна сумме периметров прямоугольников по другой диагонали:$$2(a+c)+2(b+d)=2(b+c)+2(a+d)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 5, 10 и 18. Найдите площадь…
- 1
Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. У верхних прямоугольников одинаковая высота, поэтому отношение их площадей равно отношению ширин. То же отношение имеют площади нижних прямоугольников.$$\frac{5}{10}=\frac{x}{18}$$
- 2
Решим пропорцию:$$x=\frac{5\cdot18}{10}=9$$
Среднее арифметическое семи различных натуральных чисел равно 10. Среднее арифметическое этих чисел и восьмого числа равно 11. Чему равно восьмое число?
- 1
Сумма семи чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_7 = 7 \cdot 10 = 70$$
- 2
Сумма восьми чисел равна:$$S_8 = 8 \cdot 11 = 88$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, чтобы сумма всех чисел в первом столбце была равна 85, во втором — 77, в третьем — 71, а сумма…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$85+77+71=233$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 12 и меньшее 15, поэтому она равна 13 или 14.
Ещё 2 шага — в полном решении
Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?
- 1
Посчитаем сумму количеств договоров, заключённых каждой страной:$$4 \cdot 3 + 6 \cdot 5 = 12 + 30 = 42$$
- 2
Каждый договор при таком подсчёте учитывается дважды — по одному разу для каждой из двух стран.$$42 : 2 = 21$$
В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…
- 1
Разложим произведение на множители:$$1338 = 2 \cdot 3 \cdot 223$$
- 2
Так как все отметки являются цифрами от 2 до 5, множитель 223 образуется из трёх последовательных отметок 2, 2 и 3. Оставшиеся две отметки должны дать множители 2 и 3. Последовательность отметок: 2, 2, 3, 2, 3.$$223 \cdot 2 \cdot 3 = 1338$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме всего четырнадцать квартир, их номера от 1 до 14. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 10-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в…
- 1
Обозначим через $S$ суммарное число жителей в квартирах с 7-й по 10-ю.
- 2
Тогда в квартирах с 1-й по 6-ю живёт $12-S$ человек, а в квартирах с 11-й по 14-ю — $18-S$ человек.
Ещё 3 шага — в полном решении
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий…
- 1
Стоимость оплаты за каждый метр образует арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=4300$, разностью $d=1300$ и количеством членов $n=9$.$$a_1=4300,\quad d=1300,\quad n=9$$
- 2
Найдём сумму оплаты за все 9 метров по формуле суммы первых членов арифметической прогрессии.$$S_9=\dfrac{9\left(2\cdot4300+(9-1)\cdot1300\right)}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Среднее арифметическое пяти различных натуральных чисел равно 7. Среднее арифметическое этих чисел и шестого числа равно 8. Чему равно шестое число?
- 1
Сумма пяти чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_5 = 5 \cdot 7 = 35$$
- 2
Сумма шести чисел равна:$$S_6 = 6 \cdot 8 = 48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении