В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 80$, $AC = 96$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 48$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{80^2 - 48^2} = \sqrt{4096} = 64$$
Основания равнобедренной трапеции равны 33 и 75, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $75-33=42$. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя боковыми прямоугольными треугольниками, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $42:2=21$.$$x=\frac{75-33}{2}=21$$
- 2
Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора.$$h=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{5184}=72$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{101}$, $BC = 1$. Найдите $\tg A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{101 - 1} = 10$$
- 2
Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$$
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 28^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 7. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшая дуга, соответствующая углу $28^\circ$, составляет долю $\dfrac{28}{360}$ всей окружности.$$\frac{7}{L} = \frac{28}{360}$$
- 2
Найдём длину окружности.$$L = 7 \cdot \frac{360}{28} = 90$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 57^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 57. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшей дуге соответствует центральный угол $57^\circ$, поэтому длина дуги пропорциональна величине центрального угла.$$l_{\text{большей}} = 57 \cdot \frac{360^\circ - 57^\circ}{57^\circ}$$
- 2
Вычислим длину большей дуги.$$l_{\text{большей}} = 57 \cdot \frac{303}{57} = 303$$
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 14, $\tg \angle CAD = 0{,}4$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 14$.$$CD = AB = 14$$
- 2
Для прямоугольного треугольника $ACD$ используем определение тангенса угла $CAD$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 20$, сторона $AB = \sqrt{149}$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, поэтому он равнобедренный. Высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам.$$AH = HC = \frac{AC}{2} = 10$$
- 2
Найдём высоту $BH$ из прямоугольного треугольника $ABH$.$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{149 - 100} = 7$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.
- 1
Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.$$c=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=25$$
- 2
Наибольшая средняя линия соединяет середины катетов и параллельна гипотенузе, поэтому равна половине гипотенузы.$$l=\frac{c}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5$$
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 49^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому её градусная мера вдвое больше угла.$$\overset{\frown}{DA} = 2 \cdot 49^\circ = 98^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB} = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 22. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Медиана $BM$, являющаяся биссектрисой угла $B$, делит противоположную сторону и угол так, что треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB=BC$.
- 2
Так как медиана проведена к основанию равнобедренного треугольника, она является также высотой. В прямоугольном треугольнике $ABM$ угол $ABM$ равен половине угла $B$:$$\angle ABM=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 41$, $AC = 80$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то все его стороны равны. Следовательно, $ABCD$ — ромб.$$AB = 41$$
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина диагонали $AC$ равна $40$.$$AO = \frac{AC}{2} = 40$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $58^\circ$, угол $ABC$ равен $31^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим угол $ACB$ через $x$. Тогда угол $A$ треугольника $ABC$ равен:$$\angle A=180^\circ-31^\circ-x=149^\circ-x$$
- 2
Поскольку $AL$ — биссектриса, угол $CAL$ равен половине угла $A$:$$\angle CAL=\dfrac{149^\circ-x}{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 11, $\tg \angle CAD = 0{,}44$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет, противолежащий углу $CAD$, равен $AB$, а прилежащий катет равен $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AB}{AD}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$.$$0{,}44 = \dfrac{11}{AD},\quad AD = \dfrac{11}{0{,}44} = 25$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 65$, $AC = 104$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 52$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{65^2 - 52^2} = \sqrt{4225 - 2704} = \sqrt{1521} = 39$$
На окружности радиусом 15 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 12$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности равен удвоенному радиусу.$$AB = 2R = 2 \cdot 15 = 30$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
- 1
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{400} = 20$$
- 2
Приравняем два выражения для площади треугольника:$$\dfrac{12 \cdot 16}{2} = \dfrac{20h}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 63^\circ$. Найдите величину угла $CMA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, поэтому углы $DMC$ и $DMB$ равны.$$\angle CMB = 2\angle DMC$$
- 2
Найдём величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $138^\circ$, угол $ABC$ равен $131^\circ$. Найдите величину угла $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ALB$ и $ALC$ являются смежными.$$\angle ALB = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ABL$. Так как $AL$ — биссектриса, то $\angle BAL = \frac{1}{2}\angle A$.$$\angle BAL + 131^\circ + 42^\circ = 180^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите $BK$, если $BD = 9$.
- 1
Введём векторы: пусть $\overrightarrow{BA}=\mathbf a$, а $\overrightarrow{BC}=\mathbf c$. Тогда $\overrightarrow{BD}=\mathbf a+\mathbf c$.
- 2
Так как $M$ — середина $BC$, то $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\mathbf c$. Точка $K$ лежит на $BD$, поэтому $\overrightarrow{BK}=t(\mathbf a+\mathbf c)$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = 0{,}28$. Гипотенуза $AB = 25$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
По определению косинуса угла $B$ найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 25 \cdot 0{,}28 = 7$$
- 2
По теореме Пифагора найдём второй катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде