Разложение на простые множители

Простое число - натуральное число, больше 7 7 , у которого ровно два делителя: единица и само это число. Такие числа служат «строительными блоками» для других н

Арифметика по модулю

Сравнение по модулю - два целых числа считаются сравнимыми по модулю, если их разность делится на выбранный модуль. Это обычно записывают как a ≡ b ( m o d n )

Классы вычетов и остатки

Теория вычетов — это раздел арифметики и теории чисел, изучающий, как числа соотносятся между собой относительно деления на некоторое фиксированное целое число.

Малая теорема Ферма

Малая теорема Ферма - если целое число не делится на простое число p, то при возведении этого числа в степень p-1 результат сравним по модулю p с единицей. Стан

Теорема Эйлера

Функция Эйлера - это функция, обозначаемая φ ( n ) \varphi(n) , которая для положительного целого числа n даёт число целых чисел от 1 до n, взаимно простых с n.

Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках — одно из фундаментальных утверждений теории чисел, которое описывает способ одновременного решения нескольких сравнений по модулю

Арифметические функции (φ, σ, τ и др.)

Арифметические функции — важный класс функций в теории чисел, которые отображают натуральные числа в комплексные или вещественные значения и отражают делимостьн

Мультипликативные группы вычетов

В арифметике вычетов под множеством классов по модулю часто понимают кольцо вычетов, обозначаемое Z n \mathbb{Z}_n . Внутри этого кольца множество обратимых эле

Тесты на простоту

Тема проверки простоты числа важна и в теории чисел, и в прикладных задачах, таких как криптография или факторизация. Прежде чем говорить о самих тестах, напомн

Алгоритмы факторизации

Факторизация целого числа — это разложение числа на множители, которые обычно требуются простыми. В общем виде задача состоит в том, чтобы для заданного положит

Линейные диофантовы уравнения

Линейные диофантовы уравнения занимают центральное место в теории чисел и часто встречаются в задачах школьного уровня, где требуется найти целые решения для не

Квадратичные диофантовы уравнения

Квадратичное диофантово уравнение - это уравнение второй степени с целыми коэффициентами, для которого ищут целочисленные решения. В простейшем случае задача фо

Квадратичные вычеты

Квадратичный вычет - число по модулю простого числа p, которое является квадратичным вычетом означает, что существует целое x, удовлетворяющее x 2 ≡ a ( m o d p

Знак Лежандра и символ Якоби

Знак Лежандра - a p − 1 2 ≡ ( a p ) ( m o d p ) \displaystyle a^{\frac{p-1}{2}}\equiv\left(\frac{a}{p}\right)\pmod p Знак Лежандра вводится для описания того, я

Диофантова аппроксимация

Диофантова аппроксимация — раздел теории чисел, изучающий, как хорошо вещественные числа можно приближать рациональными. Основная задача — для заданного веществ

Распределение простых чисел (введение)

Простое число - натуральное число, большее p > 1 и единственные положительные делители — 1 и p p>1\quad\text{и единственные положительные делители — }1\text{ и

Эллиптические кривые — введение

Эллиптические кривые — важная часть современной математики и криптографии. Это гладкие кривые особого вида, которые имеют структуру абелевой группы: точки на кр

Приложения и практические задачи

Многие реальные проблемы сводятся к поиску наилучшего решения среди допустимых вариантов: минимизация затрат, максимизация прибыли, оптимальное распределение ре

Степень с натуральным показателем

В школьной алгебре понятие степени помогает компактно записывать многократное умножение одного и того же числа или выражения. Запись вида a n a^n служит для обо

Степень с целым показателем

Пусть дано число, которое называют основанием степени, и целое число, называемое показателем степени. Запись степени обычно выглядит как компактное обозначение

Нулевая и отрицательная степень

В школьном курсе алгебры понятие степени — одно из ключевых. Под степенью понимают запись, в которой одно число или выражение повторно умножается само на себя н

Измерения и погрешности

Измерение — это процесс сопоставления величины физического объекта или явления с принятым эталоном для получения численного значения. В школьном курсе важно уме

Дробная степень и корни

Дробная степень - возведение числа в степень, показатель которой является рациональным числом, чаще всего записываемым в виде дроби. Если общее понятие степени

Законы степеней

Степень - это результат возведения числа или буквы, называемой основанием, в степень, задаваемую показателем. Общее обозначение степени записывают как a n a^{n}

Степень произведения и частного

Когда возводят в степень произведение двух чисел или выражений, показатель степени распределяется по множителям: результат равен произведению тех же множителей,

Степень степени

Понятие «степень степени» описывает ситуацию, когда результат возведения числа в степень снова возводят в степень. Упрощающее правило для такой конструкции даёт

Научная запись и порядок величин

Научная запись - способ записи чисел в виде продукта мантиссы и степени десяти, удобный для работы с очень большими или очень маленькими величинами. Главная иде

Применение степеней и задачи

Степени — удобный способ записывать повторное умножение одного и того же числа на себя. С практической точки зрения степени позволяют компактно задавать большие

Сложение: основные свойства

Сложение - это арифметическая операция, при которой два числа или выражения объединяются в одно итоговое значение; если к первому слагаемому a прибавить второе

Умножение: основные свойства

Умножение - это арифметическая операция, которая связывает две величины: множитель и множитель или множитель и множитель-результат, и даёт произведение. Умножен

Коммутативность и ассоциативность

Коммутативность - свойство бинарной операции, при котором порядок элементов не влияет на результат операции. Говоря более простыми словами, если операция коммут

Дистрибутивность (распределительное свойство)

Дистрибутивность - свойство умножения относительно сложения, выражающееся формулой a ( b + c ) = a b + a c a(b+c)=ab+ac . Говоря простыми словами, дистрибутивно

Вычитание: свойства и связь со сложением

Вычитание - это арифметическая операция, позволяющая определить, на сколько одно число меньше другого; результат называется разностью. Операция вычитания обычно

Деление: свойства и связь с умножением

Деление - арифметическая операция, обратная умножению: при делении одного числа на другое мы ищем, сколько раз второй множитель содержится в первом. Обычно деле

Порядок выполнения действий (приоритет операций)

Приоритет операций - правило, определяющее последовательность, в которой выполняются операции в математическом выражении, когда нет дополнительных указаний в ви

Особые элементы: ноль и единица

В математике и алгебраических структурах есть два элемента, которые занимают особое место: понятие «ноль» и понятие «единица». Эти элементы часто называются «ос

Приставка

В математике и теории формальных языков приставка (по-английски "prefix") слова — это такая его начальная часть, которой можно дополнить сзади некоторым словом,

Алгебраические и числовые выражения

В школьной алгебре ключевыми объектами изучения являются выражения — записи, задающие числовые или буквенные зависимости между величинами. Выражения используютс

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение — это движение тела вдоль прямой при постоянном ускорении: величина ускорения не меняется во времени и направлена вдоль траектории. При

Единицы измерения и перевод величин

В повседневной жизни и науке измерения помогают сравнивать, рассчитывать и общаться. Без общих единиц любая числовая информация о длине, массе или времени была

Формулы: запись и применение

Формула - компактная запись математической зависимости между величинами, дающая возможность вычислять одну величину через другие. Формула — это не просто набор

Раскрытие скобок и распределительный закон

Раскрытие скобок - операция замены произведения множителя на сумму или разность членов внутри скобок на эквивалентную сумму или разность отдельных произведений.

Приведение подобных слагаемых

Подобные слагаемые — это слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть: те же переменные в тех же степенях. При приведении подобных слагаемых складываются (ил

Упрощение выражений

Упрощение выражений — это процесс приведения математических записей к более компактному, удобному для вычислений и сравнения виду. Часто упрощение помогает увид

Подстановка и изменение переменных

Подстановка - приём, при котором в выражении одна переменная заменяется другой функцией так, чтобы упростить вычисления или привести задачу к известному виду. Г

Понятие дроби

Дробь - это математическое выражение, которое показывает, на сколько равных частей разделено целое и сколько таких частей взято. Общая форма дроби записывается

Числитель и знаменатель

Дробь - число, которое выражает часть целого и записывается в виде отношения двух целых чисел: числителя и знаменателя. В общем виде дробь записывается как 3 4

Правильные и неправильные дроби

Дробь — это способ записать часть от целого и отношения между двумя целыми числами: числителем и знаменателем. Общее обозначение дроби обычно записывают с помощ

Смешанные числа

Смешанное число - это число, которое состоит из целой части и дробной части и записывается как m + n d m + \dfrac{n}{d} . Дробная часть обычно является правильн

Основное свойство дроби

Дробь - это число, записываемое в виде a b = a ⋅ k b ⋅ k , b ≠ 0 , k ≠ 0 \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},\quad b\neq0,\ \;k\neq0 , где перва

Равные и эквивалентные дроби

Дробь - числовое выражение, записанное в виде части целого, обобщённое как a b \frac{a}{b} , где знаменатель не равен нулю. Дробь показывает, на сколько частей

Сокращение дробей

Дробь - число, записанное в виде частного двух целых чисел: числителя и знаменателя; она показывает, на сколько частей разделено целое и сколько таких частей вз

Приведение к общему знаменателю

Приведение к общему знаменателю — это математическая операция, при которой две или более дроби преобразуются так, чтобы у них были одинаковые знаменатели. Это н

Сравнение обыкновенных дробей

Сравнение дробей — это умение определить, какая из двух дробей больше, какая меньше или равны ли они. Для практики важно понимать, что дробь отражает отношение

Нахождение доли числа (части от числа)

Доля - часть целого, выраженная отношением этой части к целому; чаще всего доля задаётся дробью или процентом. Когда говорят «найти долю числа», имеют в виду де

Нахождение числа по его дроби

Дробь - число, показывающее, на какую часть берётся целое: первая часть называется числителем, вторая — знаменателем. Числитель - верхняя часть дроби, показывае

Нахождение целого по его части

Под выражением «часть числа» обычно понимают некоторую долю от целого: дробную часть, процентовую часть или десятичную долю. Задачи формулируются так, что извес

Доля и её применение

Доля - это отношение части к целому, которое записывают в виде дроби f r a c a b \\frac{a}{b} и читают «a дробь b» или «a часть из b». Доля показывает, какую ча

Проценты: понятие и связь с дробями

Процент - это способ выразить часть от целого как долю, равную одной сотой части целого; процент показывает, какая часть целого приходится на одну сотую. Проще

Проценты: вычисление от числа

Процент — это удобный способ выразить отношение части к целому в сотых долях. В повседневной жизни проценты используются при вычислении скидок, налогов, прибыли

Перевод процентов в дроби и десятичные

Процент - это способ выразить часть от целого, где целое считается равным a % = a 100 a\% = \dfrac{a}{100} . Проще говоря, процент показывает, какая доля от ста

Арифметика: обзор правил для дробей

Дробь - число, записанное в виде отношения двух целых: числителя и знаменателя. Обобщённая форма дроби представляется как a b \frac{a}{b} и читается как «а делё

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Дробь - число, записанное в виде отношения двух целых чисел: числителя и знаменателя. Числитель показывает, сколько частей берётся, а знаменатель — на сколько ч

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Дробь - число, записанное в виде отношения двух целых чисел: числителя и знаменателя. Запись представляет собой дробь, где числитель показывает, сколько частей

Сложение и вычитание смешанных чисел

Смешанное число - число, состоящее из целой части и дробной части, где дробная часть выражается правильной дробью (числитель меньше знаменателя). В общем виде с

Умножение дроби на натуральное число

Умножение дроби на натуральное число — это операция, при которой натуральное число умножается на числитель дроби, а знаменатель остаётся прежним. Формально прав

Умножение обыкновенных дробей

Обыкновенная дробь — это способ записать часть от целого. В общем виде дробь записывают как дробь с числителем и знаменателем: a b \frac{a}{b} . Числитель показ

Умножение смешанных чисел

Смешанное число - число, состоящее из целой части и дробной части, записываемое как целая часть с дробью рядом. Смешанное число удобно понимать как сумму целой

Деление дроби на натуральное число

Операция деления дроби на натуральное число отвечает на вопрос: как разделить часть целого, заданную дробью, на некоторое целое количество равных частей. Формал

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей — это операция, которая отвечает на вопрос: «Сколько раз одна дробь помещается в другой?» Практический смысл деления может быть разным: разрезани

Деление смешанных чисел

Смешанное число - число, состоящее из целой части и дробной части, например 2 1 3 = 7 3 2\,\frac{1}{3}=\frac{7}{3} . Неправильная дробь - дробь, у которой числи

Взаимно обратные числа и деление

Взаимно обратные числа — это одна из базовых идей алгебры, которая связывает операцию умножения с операцией деления. Понимание обратных чисел упрощает вычислени

Десятичная дробь: определение

Десятичная дробь - это способ записи чисел, в котором целая часть и дробная часть разделены десятичным разделителем и каждая цифра дробной части относится к отр

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Обыкновенная дробь - число, записываемое в виде отношения двух целых чисел: числителя и знаменателя. Она показывает, на сколько частей разделено целое и сколько

Сравнение десятичных дробей

Десятичная дробь - число, записанное в виде целой части, отделённой от дробной части десятичным разделителем (запятой или точкой), где дробная часть состоит из

Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичная дробь — это способ записи рационального числа, где целая и дробная части разделяются десятичным разделителем. В записи часто приводят конкретный прим

Умножение десятичных дробей

Десятичная дробь - число, в записи которого дробная часть отделена от целой части десятичной (запятой) и представлена знаками после неё. Десятичные дроби исполь

Деление десятичных дробей

Деление десятичных дробей — это операция, при которой одна десятичная дробь распределяется на равные части, определяемые другой десятичной дробью. В школьной пр

Деление десятичной дроби на натуральное число

Деление десятичной дроби на натуральное число — это одна из основных арифметических операций, которая чаще всего встречается при решении практических задач: выч

Умножение десятичных дробей на натуральные числа

Десятичная дробь - число, записанное в виде целой и дробной частей, разделённых десятичной запятой; дробная часть выражается конечным набором цифр после запятой

Совместные вычисления: обычные и десятичные дроби

Совместные вычисления - это операции, при которых используются числа в разных формах: обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа. Учимся приводить их

Округление и оценка при вычислениях

При реальных вычислениях часто встречаются числа с большим количеством знаков или результаты, полученные с ограничённой точностью. Округление упрощает запись и

Примеры и задачи: от простых к сложным

Решение задач — это не только проверка знаний, но и развитие мыслительных навыков. Постепенное увеличение сложности помогает выстроить устойчивую технику решени

Что такое геометрия

Геометрия - раздел математики, изучающий формы, размеры, взаимное расположение и свойства фигур и пространственных объектов. Геометрия возникла как практическая

Точка и прямая

Тема «Точка и прямая» вводит самые базовые геометрические объекты, которые служат фундаментом для всех последующих построений в планиметрии и аналитической геом

Луч (полупрямая)

Луч - геометрическое множество точек, состоящее из начальной точки и всех точек, лежащих на заданной прямой по одну сторону от этой начальной точки. В школьной

Отрезок

Отрезок — это геометрическая фигура, представляющая собой часть прямой, ограниченную двумя точками, называемыми концами отрезка. В отличие от луча или прямой, о

Длина и измерение отрезков

Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками; длину отрезка называют расстоянием между этими точками. Длина отрезка - числовая величина, характеризующая р

Сравнение отрезков

Сравнение отрезков — это установление отношений по длине между двумя отрезками: какой из них длиннее, равны ли они или один короче другого. Длину произвольного

Ломаная

Ломаная — это геометрическая фигура, состоящая из последовательности отрезков, соединённых по концам. Формально ломаную задают набором вершин P 1 , P 2 , … , P

Плоскость

Плоскость — это основное понятие в геометрии и аналитической геометрии, обозначающее двухмерное бесконечное ровное множество точек, лежащее в трёхмерном простра

Понятие и обозначение угла

Угол - геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой (вершиной). В речи и записях угол часто обозначают сочетанием букв, буквой верш

Виды углов

Угол - геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины). Угол показывает направление одного луча относительно другого и изм

Меры углов: градусы и радианы

Угол - геометрическая величина, характеризующая вращение одной лучевой стороны вокруг вершины относительно другой; мера угла показывает, какую часть окружности

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы - два угла, которые имеют общую сторону и общую вершину и в сумме составляют один развернутый угол, то есть их суммы равны α + β = 18 0 ∘ \alpha +

Биссектриса угла

Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на две равные части. Проще говоря, если в вершине A задан угол ∠BAC, то биссектриса —

Аксиома измерения углов

Аксиома измерения углов вводит в геометрии правило, по которому каждому углу ставится в соответствие число — его мера. Формально это утверждение говорит о сущес

Откладывание отрезков и углов

Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками; обычно обозначается как A C → \overrightarrow{AC} и имеет длину, которую можно измерить и перенести. Луч - ч

Параллельные прямые

Параллельные прямые — это два прямых на плоскости, которые либо не пересекаются ни в одной точке, либо совпадают полностью. В евклидовой геометрии понятие парал

Аксиома параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых — это одно из базовых утверждений Евклидовой геометрии, которое задаёт поведение прямых на плоскости и служит основой для многих пос