Биссектриса угла

Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на две равные части. Проще говоря, если в вершине A задан угол ∠BAC, то биссектриса — это такой луч, проходящий через A, что две образованные ею части угла имеют одинаковую величину. На рисунке это часто обозначают штриховой линией или цветом; пример иллюстрации можно поместить как {IMAGE_0}. Биссектриса бывает внутренней (делит внутренний угол) и внешней (делит внешний угол, дополняющий внутренний до 180°).

Биссектриса обладает важными свойствами и широким спектром применений в геометрии и задачах на построение. Одно из ключевых утверждений — теорема о биссектрисе в треугольнике: если биссектриса из вершины A пересекает противоположную сторону BC в точке D, то отрезки на этой стороне соотносятся как прилежащие стороны треугольника, то есть $\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$. Ещё одно фундаментальное свойство: любая точка P, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла, то есть расстояния от точки до сторон совпадают ($\displaystyle \mathrm{dist}(P,AB)=\mathrm{dist}(P,AC)$). Эти факты используются при решении задач на отношение отрезков, при построении вписанных окружностей и при доказательстве равенств и неравенств в треугольниках. Для вычисления длины самой биссектрисы также существует формула: если стороны, исходящие из вершины A, имеют длины b и c, а величина угла в вершине равна α, то длина биссектрисы l_a выражается как $\displaystyle l_a=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}$ — эта формула удобна при решении задач на длины отрезков без применения координатной геометрии.