Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Что такое обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь - число, записываемое в виде отношения двух целых чисел: числителя и знаменателя. Она показывает, на сколько частей разделено целое и сколько таких частей взято.

Общий вид обыкновенной дроби записывают как $\frac{a}{b}$. Примеры простых обыкновенных дробей: $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{8}$.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную форму означает найти десятичную запись (с запятой), эквивалентную исходной дроби. В зависимости от знаменателя результат может быть конечным или бесконечно периодическим.

Когда дробь даёт конечную десятичную

Ключевое условие для получения конечной десятичной дроби связано со свойствами знаменателя: после сокращения дроби знаменатель должен иметь вид $b = 2^{m}5^{n}$. То есть в простейшем виде знаменатель допускает только простые множители 2 и 5.

Практически перевод делается путём домножения числителя и знаменателя на такое число, чтобы в знаменателе получилась степень 10. Например, дробь $\frac{3}{25}$ домножаем на $\frac{3}{25}\cdot\frac{4}{4}=\frac{12}{100}$ и получаем десятичную запись $0.12$.

Ещё один пример: дробь $\frac{5}{8}$ домножаем на $\frac{5}{8}\cdot\frac{125}{125}=\frac{625}{1000}$, получаем $0.625$. Это удобно: если знаменатель равен 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40 и т.д., то всегда можно подобрать множитель, приводящий знаменатель к степени 10.

Периодическая (бесконечная) десятичная дробь

Если после сокращения в знаменателе есть простые множители, отличные от 2 и 5, то десятичная запись будет бесконечной и периодической. Простейший пример — дробь $\frac{1}{3}$, которая в десятичном виде записывается как $0.\overline{3}$.

Другой пример: дробь $\frac{2}{11}$ даёт бесконечную периодическую десятичную запись $0.\overline{18}$. Длина периода связана с тем, как быстро при делении в столбик остатки начинают повторяться.

Понимание периода полезно при переводах обратно: периодические десятиричные дроби легко свести к обыкновенным, если применить простую алгебраическую технику (см. раздел о приёмах).

Метод деления в столбик — пошаговая инструкция

Самый общий и универсальный способ перевода любой обыкновенной дроби в десятичную — выполнить деление числителя на знаменатель в столбик, дописывая нули к остаткам по мере необходимости. Рассмотрим дробь $\frac{7}{12}$.

Сначала выясняем, сколько целых частей даёт деление: при делении 7 на 12 целая часть равна 0, берём остаток 7, добавляем ноль и делим 70 на 12. Это фиксируется формально в записях вида $70-12\cdot5=10$ — из 70 получаем частное 5 и остаток 10.

Далее к остатку 10 приписываем ноль и делим 100 на 12: $100-12\cdot8=4$ — частное 8, остаток 4. Затем 40 на 12: $40-12\cdot3=4$ — частное 3, остаток 4. Поскольку остаток 4 повторился, начинается период, и в результате получаем $0.58\overline{3}$.

Как определить заранее: конечная или периодическая

Чтобы не выполнять полное деление, можно сначала сократить дробь и посмотреть на простые множители знаменателя. Если в простейшем виде знаменатель имеет вид $b = 2^{m}5^{n}$, дробь даёт конечную десятичную запись. Иначе — периодическую.

Например, дробь $\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$ сокращается и превращается в $0.7$, а потому даёт десятичную запись $x=0.\overline{3}$. Такой приём экономит время при большом количестве вычислений.

Приёмы и трюки для работы с периодическими дробями

Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную делается через приём «умножение и вычитание». Пусть x — периодическая десятичная дробь. Для простейшей 0,333... ставим $10x=3.\overline{3}$. Умножаем на 10: $9x=3$. Вычитаем: $x=\frac{1}{3}$, откуда получаем $x=0.\overline{18}$.

Для более длинного периода, например 0,1818..., можно умножить на 100 и проделать аналогичную операцию: $100x=18.\overline{18}$, $99x=18$, затем $x=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}$, и итог $\frac{3}{40}$.

Эти приёмы полезны и в обратную сторону: если при переводе дроби в десятичную вы видите период, вы с лёгкостью сможете представить дробь в виде рационального числа и сократить его при необходимости.

Примеры и подробные разборы

Контрольные задания для тренировки

1) Найдите десятичное представление дроби {FORMULA_30}.

2) Переведите в десятичную дробь: $\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$ и $\frac{7}{12}$.

3) Определите, какие из дробей будут конечными: $\frac{3}{25}$, $\frac{2}{11}$, $\frac{5}{8}$.

4) Преобразуйте периодические десятичные дроби в обыкновенные: $0.\overline{3}$ и $0.\overline{18}$ (проверьте с помощью алгебраического приёма).

Выводы и советы

Для быстрого перевода обыкновенной дроби в десятичную сначала сократите дробь, затем проверьте простые множители знаменателя. Если они только 2 и 5, ищите множитель, приводящий знаменатель к степени 10. В противном случае используйте деление в столбик и ожидайте период.

Запомните стандартные приёмы приведения знаменателя к 10, 100, 1000 и т.д., а также приём умножения и вычитания для перевода периодических дробей в обыкновенные — эти навыки позволяют быстро решать большинство школьных задач по теме.