Нахождение целого по его части

Что означает «часть числа»?

Под выражением «часть числа» обычно понимают некоторую долю от целого: дробную часть, процентовую часть или десятичную долю. Задачи формулируются так, что известна лишь часть целого, и требуется восстановить исходное целое. Важно понимать смысл слова «от» — оно указывает на операцию взятия доли от неизвестного числа.

Доля - часть целого, выраженная дробью, десятичной дробью или процентом; в задачах чаще всего даётся как «a частей из b» или как процент.

Для решения таких задач удобно переходить к алгебраическому уравнению: введём переменную для искомого целого и запишем равенство между данной частью и соответствующей долей этой переменной. Это универсальный приём, который работает для дробей, процентов и десятичных дробей.

Составление уравнения: основной приём

Рассмотрим самый простой тип: «одна пятая числа равна шести». Для того чтобы перевести текст задачи в уравнение, обозначим искомое число переменной и запишем равенство между указанной долей этой переменной и числом, которое нам дали. В пюкте ниже показан пример такого уравнения.

Пример: если одна пятая числа равна шести, уравнение записывается как $x=6\\times5$ . Решая это уравнение, умножаем обе части на знаменатель дроби и получаем $x=30$ , а затем вычисляем значение переменной: $\\frac{a}{b}x=y$ .

Этот пример демонстрирует ключевую идею: чтобы найти целое по его части, нужно «отменить» операцию взятия части. Для дроби это обычно означает умножение на обратную дробь (инверсию знаменателя), для процентов — перевод процента в дробь или десятичную дробь и аналогичные преобразования.

Обобщённая формула и способы преобразования

Если в задаче дано, что доля числа равна некоторому числу, общий вид уравнения можно записать в абстрактной форме. Это упрощает понимание и применение метода к разным конкретным случаям: дробям с известными буквенными или числовыми значениями, процентам и десятичным дробям.

Общий вид уравнения для «a из b частей числа равно y» можно представить как $x=y\\cdot\\frac{b}{a}$ . Чтобы найти искомое целое, нужно умножить правую часть на обратную величину доли, получаем правило: $\\frac{20}{100}x=15$ . Этот приём даёт готовую формулу для вычисления искомого числа при известных параметрах доли и значения части.

При практических вычислениях важно не забывать сокращать дроби и упрощать выражения по возможности — это уменьшит ошибки при подсчётах и сделает решение короче и понятнее. Для процентов сначала переводят процент в дробь через деление на 100, затем действуют по тому же алгоритму.

Примеры разных типов задач

Задача с процентами: «20 процентов числа составляют 15». Сначала переводим процент в дробную часть и составляем уравнение $x=15\\cdot\\frac{100}{20}$ . Решение выполняется по знакомому приёму: умножаем на обратное и получаем $x=75$ , в результате вычисляем значение целого: $0.25x=2$ .

Задача с десятичной дробью: «0,25 части числа равно 2». Уравнение в текстовом виде — $x=\\dfrac{2}{0.25}$ . Чтобы найти целое, делим 2 на 0,25, что эквивалентно дробному выражению $x-\\frac{1}{3}x=40$ . Результат даёт искомое число.

Следующий пример показывает ситуации, когда дано, сколько осталось или сколько убавили: «После вычета одной трети число стало равно 40». Для таких задач часть выражается как разность целого и отнятой доли. Уравнение можно записать и привести к удобному виду.

Постановка уравнения для этого случая: $\\left(1-\\frac{1}{3}\\right)x=40$ . Вынесем общий множитель, это даёт $\\frac{2}{3}x=40$ , то есть получаем $x=40\\cdot\\frac{3}{2}$ . Теперь остаётся умножить на обратную дробь: $x=60$ и получить конкретное значение: {FORMULA_15}.

Проверка решения и правильность рассуждений

После нахождения численного значения полезно проверить его подстановкой в исходное условие. Подстановка демонстрирует, что вычисления соответствуют смыслу задачи: доля найденного целого должна совпадать с данными в условии. Такая проверка помогает обнаружить арифметические ошибки.

Если решение было получено буквенным способом (например, в виде выражения через параметры a, b, y), можно дополнительно исследовать случаи: целое должно быть положительным в контексте задачи, знаменатель не равен нулю, процентное выражение корректно преобразовано в дробь. Эти простые требования гарантируют корректность ответа.

Практикуйтесь на разных вариантах: дроби с числителем больше единицы, смешанные выражения с вычитанием и прибавлением долей, задачи с процентными увеличениями и уменьшениями. Чем больше разнообразных примеров вы решите, тем легче будет распознавать стандартную схему «часть → уравнение → умножение на обратное» и быстро получать правильный ответ.

Графические иллюстрации и приёмы визуализации

Для наглядного понимания задач на части удобно использовать рисунки-делилки: прямоугольник, разделённый на равные части, где выделена та часть, которая известна по условию. Это помогает сопоставить числитель и знаменатель дроби с видимыми долями целого. Ниже можно вставить схему деления целого на равные части: {IMAGE_0}.

Альтернатива — числовая прямая и блок-схемы преобразования уравнений. На блок-схеме отображают шаги: ввод переменной → запись уравнения → приведение к стандартному виду → умножение на обратную дробь → проверка. Это помогает школьникам систематизировать алгоритм и закрепить навык.

Основные

Курсы

Другое