Арифметика: обзор правил для дробей

Введение: что такое дробь

Дробь - число, записанное в виде отношения двух целых: числителя и знаменателя. Обобщённая форма дроби представляется как $\frac{a}{b}$ и читается как «а делённое на b», где b не равен нулю.

Дроби встречаются в разных контекстах: в делении, в процентах, в задачах на деление целого на равные части. Пример простой дроби: $\frac{3}{4}$. Понимание записи дроби и её частей — основа для выполнения всех последующих правил.

Части дроби: числитель и знаменатель

Числитель - верхняя часть дроби, показывает, сколько частей берётся. В дроби $\frac{a}{b}$ числитель — это «a».

Знаменатель - нижняя часть дроби, показывает, на сколько равных частей разделено целое. В дроби $\frac{a}{b}$ знаменатель — это «b» (b ≠ 0).

Важно понимать, что при изменении числителя или знаменателя меняется смысл дроби. Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится — это ключ к уменьшению или увеличению дробей без изменения их значения, см. далее $\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}$.

Эквивалентность и сокращение дробей

Две дроби считаются эквивалентными, если они выражают одно и то же числовое значение, хотя записаны по-разному. Общее правило эквивалентности записывается как $\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}$. Это позволяет получать бесконечное число записей одного и того же числа в виде дроби.

Сокращение дроби — это обратная операция: если числитель и знаменатель имеют общий множитель, можно поделить оба на их НОД (наибольший общий делитель), чтобы получить более простую, но эквивалентную дробь. Например, дробь $\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$. Здесь видно, что НОД равен $\gcd(12,30)=6$, поэтому обе части можно разделить на него и получить сокращённую дробь.

Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Общее правило для сложения двух дробей записывают как $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$. Это выражение показывает, как получить новый числитель и новый знаменатель при суммировании.

На практике обычно удобнее привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), но формула $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ даёт общее правило даже если используется произведение знаменателей. Пример числового сложения: $\frac{3}{4}+\frac{1}{6}$. Приведя к общему знаменателю, получим $\frac{9}{12}+\frac{2}{12}$, а итоговая упрощённая сумма равна $\frac{11}{12}$.

Вычитание осуществляется по аналогичным правилам: $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$. Следует быть внимательным с отрицательными результатами и с тем, что после вычитания также может потребоваться сокращение дроби.

Умножение и деление дробей

Умножение дробей гораздо проще: произведение двух дробей равно дроби, числитель которой — произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей. Это правило записывают как $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$. Преимущество умножения в том, что часто перед перемножением можно сокращать общие множители между числителем одной дроби и знаменателем другой, чтобы упростить вычисления.

Например, $\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$. В примере видно сначала произведение числителей и знаменателей, затем сокращение результата до простейшего вида.

Деление дробей превращается в умножение на обратную дробь (взаимное значение). Общая формула дивизии двух дробей записывается как $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$. То есть деление на дробь сводится к умножению на её обратную.

Обратная дробь - дробь, получаемая при перестановке числителя и знаменателя: $\frac{a}{b}\mapsto\frac{b}{a}$. Умножение дроби на её обратную даёт единицу (если дробь ≠ 0).

Смешанные и неправильные дроби

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель не меньше знаменателя. Такие дроби можно преобразовывать в смешанные числа и обратно. Например, смешанное число $1\frac{3}{4}$ соответствует неправильной дроби $\frac{7}{4}$.

Обратная операция (преобразование неправильной дроби в смешанное число) выполняется делением числителя на знаменатель и выделением целой части, а остаток образует новую дробную часть с прежним знаменателем.

Сравнение дробей

Сравнивать дроби удобнее всего без перевода в десятичную форму, используя правила при одинаковом и разном знаменателях. Если знаменатели одинаковы, то больше та дробь, у которой больше числитель: $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\iff ad>bc$.

Если знаменатели разные, удобно воспользоваться крест-умножением: сравнение двух дробей сводится к сравнению произведений по диагонали — правило формализуется как $\frac{3}{5}<\frac{2}{3}$. Это позволяет быстро сравнить дроби без вычисления общих знаменателей.

Переход между дробями и десятичными/процентами, приближения

Дробь можно представить в виде десятичной дроби при делении числителя на знаменатель; некоторые дроби дают конечное десятичное представление, другие — бесконечную периодическую дробь. Пример конечного представления: {FORMULA_22}.

При вычислениях с приближениями полезно помнить правила округления и оценивать погрешности. Если дробь не даёт конечной десятичной записи, можно работать с заданной точностью и понимать, как операция сложения или умножения влияет на погрешность.

Практические советы и распространённые ошибки

Совет 1: всегда проверяйте, можно ли сократить дроби перед умножением или после сложения; это упрощает вычисления и предотвращает ошибки с большими числами. Совет 2: не забывайте про знак при вычитании и при работе с отрицательными дробями—знак распространяется на числитель.

Одна из частых ошибок — попытка складывать дроби без приведения к общему знаменателю или применение неверного общего знаменателя. Также часто забывают сокращать результат или неправильно переводят смешанные числа в неправильные дроби и обратно. Регулярная практика и проговаривание шагов алгоритма помогают избежать ошибок.