Научная запись и порядок величин

Что такое научная (стандартная) запись чисел

Научная запись - способ записи чисел в виде продукта мантиссы и степени десяти, удобный для работы с очень большими или очень маленькими величинами.

Главная идея научной записи — представить число через дробную часть, которая называется мантиссой, и степень десяти. Общая форма записи выглядит как $a \times 10^{n},\quad 1\le |a|<10$. Такое представление упрощает сравнение величин, операции умножения и деления, а также оценку порядка величин.

Примеры из реальной жизни дают представление о диапазоне применения: количество частиц в моле, расстояния в астрономии, размеры микрочастиц и т.д. Типичный пример константы: $6.02\times10^{23}$ — число, часто встречающееся в химии и физике как число Авогадро.

Правила приведения к научной записи

Мантисса - число a в выражении $a \times 10^{n},\quad 1\le |a|<10$, обычно такое, что по модулю оно лежит в интервале от единицы до десяти (включая единицу, но не десять).

Чтобы привести число к научной записи, перемещают десятичную точку так, чтобы в мантиссе получилось ровно одна цифра до точки (или минус перед ней). Например, число $4500 = 4.5\times10^{3}$ приводится к виду $4500 = 4.5\times10^{3}$ — мантисса равна четырём с половиной, степень десяти отражает сдвиг десятичной точки.

Если число отрицательное, знак выносится перед мантиссой: пример $-3.4\times10^{2}$ показывает, как выглядит отрицательная величина в научной форме. Ещё один приём — для очень маленьких чисел: $0.000045 = 4.5\times10^{-5}$.

Операции с числами в научной записи

Умножение и деление чисел в научной записи сводятся к работе с мантиссами и степенями отдельно. Формулы для умножения и деления имеют простой вид: $(a\times10^{m})(b\times10^{n}) = ab\times10^{m+n}$ и $\dfrac{a\times10^{m}}{b\times10^{n}} = \dfrac{a}{b}\times10^{m-n}$. Это облегчает вычисления без необходимости работать с длинными десятичными дробями.

После выполнения операции мантиссу иногда надо нормализовать: если получилась мантисса вне интервала, указанного в определении, то сдвигают десятичную точку и соответственно корректируют показатель степени. Этот шаг важен, чтобы сохранить единообразие представления и правильно оценивать порядок величины.

Порядок величины — как быстро сравнивать числа

Порядок величины - целая степень десяти, наиболее характерная для данной величины; обычно это показатель степени в научной записи числа, если мантисса лежит в интервале от единицы до десяти.

Если число представлено как $N = a\times10^{n}\;\Rightarrow\;\text{порядок величины} = n$, то его порядок величины принимают равным показателю $N = a\times10^{n}\;\Rightarrow\;\text{порядок величины} = n$. Так удобно сравнивать числа: большинство решений о том, какая величина больше или меньше, принимается по сравнению показателей степеней десяти, а не по мантиссам.

Чтобы оценить, во сколько раз одна величина больше другой, можно разделить их в научной форме и получить простую степень десятки: пример отношения $\dfrac{3\times10^{5}}{3\times10^{3}} = 10^{2}$ показывает, что разница масштабов легко определяется показателями степени.

Округление и значащие цифры в научной записи

Значащие цифры - цифры в записи числа, которые определяют его точность; в научной записи это цифры мантиссы, начиная с первой неравной нулю.

При округлении в научной записи округляют мантиссу до нужного числа значащих цифр, а показатель степени оставляют без изменений, за исключением случаев нормализации. Например, округление $7.89\times10^{2} \rightarrow 7.9\times10^{2}$ до двух значащих цифр даёт $7.89\times10^{2} \rightarrow 7.9\times10^{2}$.

Важно различать абсолютную и относительную погрешности; относительную удобно выражать через формулу: $\text{относительная ошибка} = \dfrac{|\Delta x|}{|x|}$. Относительная ошибка показывает, какую долю от величины составляет погрешность, и часто удобнее для сравнения точности измерений.

Практические советы и типичные ошибки

При переводе в научную запись следите за нормализацией мантиссы: запись должна удовлетворять условию $1\le |a|<10$. Частая ошибка — забыть сдвинуть степень после умножения мантисс, что ведёт к ненормализованному виду и ошибочной оценке порядка величины.

При операций умножения и деления следите, чтобы мантисса оставалась в допустимом диапазоне; если мантисса выходит за пределы, примените корректировку и добавьте или вычтите единицу из показателя степени. Правила наглядно описаны формулами $(a\times10^{m})(b\times10^{n}) = ab\times10^{m+n}$ и $\dfrac{a\times10^{m}}{b\times10^{n}} = \dfrac{a}{b}\times10^{m-n}$.

Развернутые примеры и упражнения

Разберём несколько упражнений: приведите к научной записи, умножьте два числа и оцените порядок величины результата. Например, преобразуйте число $0.00012 = 1.2\times10^{-4}$ и умножьте его на $4500 = 4.5\times10^{3}$ с использованием правила $(a\times10^{m})(b\times10^{n}) = ab\times10^{m+n}$.

Ещё одно упражнение — сравнить два числа по порядку величины: представьте их в виде $N = a\times10^{n}\;\Rightarrow\;\text{порядок величины} = n$ и сравните показатели. Если показатели совпадают, сравнение делается по мантиссам; если отличаются — по показателям.