Степень степени

Понятие «степень степени» описывает ситуацию, когда результат возведения числа в степень снова возводят в степень. Упрощающее правило для такой конструкции даёт выражение $(a^m)^n = a^{m\,n}$. Это утверждение получается из того, что возведение в степень означает повторное умножение: возведённую в степень величину умножают на саму себя нужное число раз, и в итоге показатели степеней перемножаются. Важно помнить о области допустимых значений: при целых показателях правило справедливо для любого основания, но при нецелых — необходимо требовать положительности основания или вводить комплексные значения, о чём говорят дополнительные условия в теории действительных и комплексных показателей.

Правило легко обобщается на рациональные показатели: при дробных показателях произведение показателей также даёт итоговый показатель, что формализуется выражением $(a^{p/q})^{r/s} = a^{\dfrac{p r}{q s}}$. Для действительных показателей и положительного основания удобна экспоненциальная запись через натуральный логарифм, которая даёт интерпретацию и непрерывное продолжение правила: $a^{x y}=e^{x y \ln a},\quad (a>0)$. Практическое применение правила — упрощение алгебраических вычислений, сокращение длинных степенных выражений и подготовка к работе с показательной функцией в анализе.

Иногда встречаются вложенные степени: многоуровневое возведение в степень можно упрощать по тому же принципу, последовательно перемножая показатели; формально это видно на примере $((a^b)^c)^d = a^{b c d}$. При выполнении упрощений всегда проверяйте допустимость операций (например, при извлечении корней или работе с отрицательными основаниями) и при необходимости указывайте область определения выражения. Иллюстрации к правилам можно поместить рядом с расчетами для наглядности: {IMAGE_0}