Нулевая и отрицательная степень

Определение и основные понятия

В школьном курсе алгебры понятие степени — одно из ключевых. Под степенью понимают запись, в которой одно число или выражение повторно умножается само на себя некоторое количество раз. Общий вид степенного выражения обозначают как $a^{n}$, где $a^{n}$ называется степенью с основанием и показателем.

Степень - это запись вида "основание в показателе", обозначающая повторное умножение основания само на себя.

Основание - число или выражение, которое возводят в степень.

Показатель - число, показывающее, сколько раз нужно умножить основание само на себя (в начальном определении — натуральное число).

Нулевая степень

Одно из первых необычных свойств степеней — это поведение при нулевом показателе. Для любого ненулевого основания справедливо правило $a^{0}=1,\ a\ne0$. Это правило кажется удивительным при первом знакомстве, но оно следует из общих свойств степеней и отношения степеней с одинаковым основанием.

Доказательство можно получить, рассматривая частное одинаковых степеней: выражение $\dfrac{a^{n}}{a^{n}}=1$ по определению равно 1. Но, используя свойство вычитания показателей при делении, это же частное равно $\dfrac{a^{n}}{a^{n}}=a^{n-n}$, а выражение $a^{n-n}=a^{0}$. Склеив эти равенства, получаем требуемое правило для нулевой степени.

Особая ситуация возникает при основании, равном нулю. Показатель ноль в выражении $0^{0}$ считается неопределённым в стандартной школьной арифметике: это выражение не имеет однозначного значения без дополнительного контекста.

Отрицательная степень

Отрицательные показатели вводятся для того, чтобы сохранить согласованность свойств степеней при вычитании показателей в частном. Основное определение для целого неотрицательного показателя можно продлить на отрицательные, введя правило $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$. Это означает, что возведение в отрицательную степень эквивалентно взятию обратного значения положительной степени основания.

Почему так получается? Рассуждение опирается на правило деления степеней с одинаковым основанием: $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$. Если в этом равенстве взять m=0, то левая часть превращается в частное единицы и степени, а правая — в степень с отрицательным показателем. Альтернативная полезная запись: $a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{n}$.

Важное ограничение: выражения вида $0^{-1}$ не имеют смысла, поскольку отрицательная степень равносильна делению на ноль. Это приводит к неопределённости и запрещено.

Свойства степеней с нулевыми и отрицательными показателями

Все обычные правила работы со степенями остаются в силе и для нулевых и отрицательных показателей, если не нарушается требование деления на ноль. Среди наиболее часто используемых свойств — правило произведения степеней с одинаковым основанием: $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$.

Свойство деления степеней можно записать так: $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$. Оно непосредственно даёт сочетание положительных и отрицательных показателей и позволяет переходить от дробей к степеням с отрицательными показателями и обратно.

Также справедливо правило степени степени: $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$. Для отрицательных показателей это означает, что многократное применение операции возведения в степень даёт умножение показателей в результате. Для произведений и частных удобно помнить: $\left(ab\right)^{-n}=a^{-n}b^{-n}$ и $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$.

Частые ошибки и замечания

Стоит всегда помнить про неопределённые случаи: $0^{0}$ — специальная точка спора в математике и при решении задач школьного уровня обычно считается не имеющей смысла. Также выражения типа $0^{-1}$ нельзя вычислять, поскольку это деление на ноль.

Ещё одна распространённая ошибка — неверно переносить знак минус или забывать, что при возведении в чётную степень знак числа может исчезнуть. При переносе отрицательного показателя из знаменателя наверх и обратно удобно оперировать правилом, например: $\dfrac{1}{x^{-2}}=x^{2}$.

Задачи для практики

1) Вычислите значение выражения: $(-2)^{-3}$. Ответ: $(-2)^{-3}=-\dfrac{1}{8}$.

2) Упростите дробь: $\dfrac{3^{-2}}{3^{-5}}$. Шаги преобразования показывают, что это равно $3^{3}=27$.

3) Преобразуйте выражение: $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-2}$. Результат: $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-2}=\dfrac{25}{16}$.

4) Решите уравнение для x: $x^{-1}=2$. Отсюда $x=\dfrac{1}{2}$.

Если вы выполняете эти задания вручную, подробно расписывайте переходы между шага ми, особенно при работе с показателями разного знака. Для визуального понимания взаимосвязи степеней и дробей можно использовать рисунок или схемы, где показано, как знак показателя влияет на положение основания (в числителе или знаменателе) — {IMAGE_0}.